Вращения и бусты у Райдера(КТП)

[Ascold]

Райдер пишет: "Как преобразуются спиноры Паули при преобразованиях Лоренца? Мы можем угадать вид этих преобразований, учитывая, что операторы $K=\pm i\sigma/2.$" Это формула (2.69). Но страницей ранее введены генераторы бустов $K$ и чётко видно(2.65-2.66), что они не пропорциональны матрицам Паули. Что же имеется ввиду?

[Munin]

А разве спиноры Паули вообще законно обсуждать рядом с преобразованиями Лоренца? В случае Лоренца спиноры бывают Дирака, Вейля и Майораны, точка. А Паули - ну максимум в случае Галилея.

[Ascold]

Цитата:

А Паули - ну максимум в случае Галилея.

правильно я понимаю, что спиноры Паули - это двухкомпонентные спиноры, входящие в уравнения Паули? А почему нельзя поставить вопрос, как они преобразуются при преобразованиях Лоренца? Потому что ур-е Паули нерелятивистское или иные причины?
Ну и далее, что пишет Райдер, вводя новые генераторы $A=\frac{1}{2}(J+iK)$ и $B=\frac{1}{2}(J-iK),$ тоже неясно. В частности, почему эти новые генераторы генерируют именно группы $SU(2)$, а не какие-нибудь другие группы?
Вообще, есть книжка, где эти вопросы про спиноры, вращения и бусты расписаны почётче?

[Munin]

Ascold в сообщении #1020454 писал(а):

правильно я понимаю, что спиноры Паули - это двухкомпонентные спиноры, входящие в уравнения Паули?

Да, если я хоть что-то правильно понимаю. (Ну и для высших спинов - больше компонент, соответственно.)

Ascold в сообщении #1020454 писал(а):

А почему нельзя поставить вопрос, как они преобразуются при преобразованиях Лоренца? Потому что ур-е Паули нерелятивистское или иные причины?

Да, поэтому.

Ascold в сообщении #1020454 писал(а):

Ну и далее, что пишет Райдер, вводя новые генераторы $A=\frac{1}{2}(J+iK)$ и $B=\frac{1}{2}(J-iK),$ тоже неясно. В частности, почему эти новые генераторы генерируют именно группы $SU(2)$, а не какие-нибудь другие группы?

Ну, какая группа получается - это вроде можно проверить прямым вычислением.

Ascold в сообщении #1020454 писал(а):

Вообще, есть книжка, где эти вопросы про спиноры, вращения и бусты расписаны почётче?

Сам не прочь был бы найти и почитать.

[Ascold]

Цитата:

Ну, какая группа получается - это вроде можно проверить прямым вычислением.

Проверяю: $A_x=(1/2)(J_x+iK_x),$ в виде матрицы:

$$A_x = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} $$

В диагональных квадрантах стоят $\sigma_x/2$ и $\sigma_y/2,$ являющиеся генераторами группы $SU(2),$ но всё равно ведь это "четвертинки" матрицы $A$ - генераторы группы SU(2) каждая, а вот как быть со всей матрицей... Ниже Райдер пишет, что группа Лоренца по существу неотличима от $SU(2) \otimes SU(2)$. Видел обсуждение post621811.html?hilit=%D0%A0%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B5%D1%80#p621811 , в котором это оспаривают, правда "ниасилил" - теории групп толком не знаю.
Даже не знаю, что спросить - странно это всё.

[fizeg]

Все просто. Райдер обзывает спинорами Паули спиноры Вейля.

Вас не смущает, что в (2.65)-(2.66) фигурируют матрицы $4\times 4$, а вам нужно действовать на двухкомпонентный столбец? Дело в том, что там выписаны генераторы преобразований Лоренца для 4-векторов. Вам же нужно теперь понять, как они действуют на двухкомпонентный спинор. Абстрактные преобразования Лоренца, про которые мы знаем коммутационные соотношения генераторов (и в случае группы топологию группы) остались прежними. Меняется же ее представление - их реализация как некоторых матриц в другом векторном пространстве.

Насчет же перехода к линейным комбинациям генераторов, Райдер просто ЖУТКО неряшлив. Корректность не распространяется дальше того, что комплексификация алгебры $so(3,1)$ эквивалентна $su(2)\oplus su(2)$.

-- 27.05.2015, 21:39 --

Ascold
Матрицы $2\times 2$!!!

-- 27.05.2015, 21:41 --

Хотя не, про $2\times 2$ пока не надо

-- 27.05.2015, 21:43 --

Возьмите построенную так $A_x$, $A_y$ и $A_z$ и прокоммутируйте их. После этого сравните коммутационные соотношения с коммутационными соотношениями $su(2)$

[Munin]

fizeg в сообщении #1020476 писал(а):

Насчет же перехода к линейным комбинациям генераторов, Райдер просто ЖУТКО неряшлив.

Ну тогда порекомендуйте просто книжку получше. Там выше о ней уже спрашивали. И мне тоже не помешает :-)

[Kirill_Sal]

Извините за нескромность и что вмешиваюсь, но почему не подходят классика теории групп для физиков и книги Пенроуза для изучения спиноров?

[Ascold]

Цитата:

Возьмите построенную так $A_x$, $A_y$ и $A_z$ и прокоммутируйте их. После этого сравните коммутационные соотношения с коммутационными соотношениями $su(2)$

Прокоммутировал - в две строчки получается $[A_x,A_y]=iA_z$. Это соответствует как комм. соотношениям $SU(2)$, так и разобранной выше $O(3)$, а может быть, и ещё чему-нибудь, я не знаю, в теории групп пока не силён.

[fizeg]

Да, эта алгебра соответствует и группе $SU(2)$ и группе $SO(3)$. Просто потому, что $SU(2)$ является двойной накрывающей $SO(3)$ и локально они совпадают (аналогия - взяли цилиндр и дважды накрутили на него лист, после чего отождествили концы). То, что получается связано с тем, что $SU(2)\times SU(2)$ оказывается двойной накрывающей $SO(4)$ (внимание на сигнатуру, не $SO(1,3)$!)

Фокус в том, что мы работаем при этом с комплексифицированными алгебрами. Т.е. вы берете вещественную алгебру (у которой коэффициенты при генераторах обязательно вещественные, хотя матрица при этом может быть комплексной, как $\mathfrak{su}(2)$) и к генераторам ставите произвольные комплексные коэффициенты, как Райдер делает в $A$ и $B$. При этом оказывается, что
$\mathfrak{so}(1,3)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{so}(4)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}\oplus \mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$
Так что зная представления $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ оказывается можно построить и все представления для $\mathfrak{so}(1,3)$. Но, чую, вам до этого еще далеко. Если вам пока нужно просто разбираться с азами КТП, возможно имеет смысл воспринимать все это максимально наивно: "маленький поворот дает вектору такую добавочку, а спинору сякую". Что уровня рассуждений "рассмотрим поток сквозь маленькую площадку $dS$". На удивление далеко можно уйти, хотя это и не самое правильное занятие

Насчет литературы, мне всегда про группы было тяжело рекомендовать. Например посоветую Ляховского-Болохова, так Ляховский мне лекции читал и это влияло на легкость восприятия книжки.

[Munin]

Спасибо! Попробую Ляховского-Болохова почитать.