2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение27.05.2015, 21:08 


13/05/15
46
Дана задачка:

В каких пространствах $l_p$ можно построить пример ряда сходящегося безусловно, но не абсолютно.

Ряд сходится безусловно, если он сходится при любой перестановки его элементов(сходимость понимается, как сходимость его частичных сумм по норме моего пространства).

Вот, как я решал, при $p \ge 2$ берем такие $x_n(0,\cdots,(\frac{1}{n}),0,\cdots)$ - элемент в скобках на $n$-м месте.
Почему такие? Потому что переставляй их, или не переставляй, все одно и тоже в сумме получится. Сходится ряд из этих элементов к $s = (1,2^{-1},3^{-1},\cdots)$. Проверим это:

$\left \| \sum_{n = 1}^{N}x_n - s\right \|_{l_p} = \left \| (0,\cdots,0,(N+1)^{-1},(N+2)^{-1},\cdots)\right \|_{l_p} = \left(\left \| \sum_{n = N+1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\right \|\right)^{\frac{1}{p}}$.


Эта штука сходится к нулю, при $N \to \infty$ и $p \ge 2$.
Но такой вот ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится.

Даже при $p = \infty$ все будет отлично. Проблема возникает при $p = 1$. Этот ряд безусловно не сходится к тому $s$. Хоть и википедия говорит об обратном, там ошибка. Так вот, вопрос, как построить пример ряда, который будет сходиться безусловно, но не абсолютно в $l_1$. И если его нельзя построить, как это доказать? И да, вообще, можно ли построить такой пример в $L_1$? Я , просто, брал уже кучу функций, как-то брал экспоненту, но там тож сложно, думал еще где-то в $x_n$ добавить веса, но там тогда громадные сложности с перестановками возникает. Нужно либо симметрично что-то там вставлять, либо фиг его знает. Спасибо, что прочитали мое сообщение и за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение27.05.2015, 22:14 


13/05/15
46
Да, теорема Дворецкого-Роджерса говорит, что в любому бесконечномерном пространстве можно привести такой пример. Но вот сам пример как построить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 06:13 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Dimitrij в сообщении #1020488 писал(а):
Хоть и википедия говорит об обратном, там ошибка.

Мне кажется, это вы википедию неверно прочитали. Там про $p=1$ ничего не утверждается.
Пораскинув слегка мозгами, ничего хорошего в голову не приходит :-( Так что, даже если пример такой есть по приведённой вами теореме, то он может оказаться неконструктивным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 09:31 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
В $l_1$ такой пример не существует.
Пусть ряд
$\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|$
расходится. Докажите, что в таком случае для некоторого $\varphi \in l_{\infty}$ расходится ряд
$\sum_{n=1}^{\infty}|(\varphi, x_n)|$
Затем примените т. Римана о перестановках.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 09:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
sup в сообщении #1020633 писал(а):
В $l_1$ такой пример не существует.

Звучит как-то странно, поскольку $l_1$ очевидно банахово и бесконечномерно, а для таких пространств есть общая теорема существования (прямое следствие теоремы Дворецкого-Роджерса, упомянутой выше). Проверьте, пожалуйста, что Вы правильно трактуете формулировки.

Dimitrij
Будьте аккуратнее в формулировках -- одной только бесконечномерности недостаточно для существования (известны обратные примеры для небанаховых бесконечномерных пространств; изучаются целые классы таких пространств).

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 10:14 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Да, виноват. Я с этим функционалом проврался. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 10:42 


13/05/15
46
grizzly
Я же не написал, что там могут быть только такие. Я написал, что можно привести такой пример. Вот как его построить.
NSKuber
Уже исправили. Когда я читал пару дней назад, там было $1\ge p\le \infty.$ Но все же, для бесконечности мой пример то же подходит.

Cтоп, задача сформулирована так "можно построить". Как доказать, что в l_1 нельзя построить. Я когда вижу такие формулировки задачи, вообще не понимаю, как их доказывать.

Да, сформулировал не очень удачно, согласен. Из этой теоремы есть следствие, что пример "существует".

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Dimitrij
Я вот об этом говорил:
Dimitrij в сообщении #1020531 писал(а):
теорема Дворецкого-Роджерса говорит, что в любом бесконечномерном пространстве можно привести такой пример

Не в любом; теорема доказана для банаховых. Есть классы пространств, в которых такого нет. Окончательной классификации, кажется, ещё нет. Посмотрел несколько интересных статьей по этому поводу (спасибо, кстати, за тему :)

Я не сомневаюсь, что в $l_1$ и в $L_1$ можно построить конкретные примеры. Но скорее всего эти "конкретные" примеры будут иметь вид схемы построения, к которым потребуется применять какие-нибудь индукции и предельные переходы. Странно, если перед Вами стоит такая учебная задача. Хотя не исключаю, что есть и простая идея.

В каких-то статьях середины прошлого века видел построение таких примеров для рядов функций, в которых рассматривалась поточечная сходимость. Глубоко не разбирал, но какие-то мысли появились. Но я не думаю, что ссылки на те статьи могут Вам пригодиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 11:03 


13/05/15
46
grizzly
Ну почему, мне самому интересно, если тут можно скидывать ссылки, то киньте письмом. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Я вот об этой статье. (Не жалко, просто неловко что-то рекомендовать, если сам толком не вник.)
Можете ещё по фамилии Кадец с ключевым словом "безусловно" погуглить. Это всё сложно, конечно, но я и сам очень люблю прочитать в сложных статьях хотя бы вводные и обзорные параграфы.

Я сам толком не пробовал построить пример. Если что-то получится, выложу в теме. Вы тоже выкладывайте, если узнаете / получите какой-то результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
http://math.stackexchange.com/questions ... onvergence

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 13:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
g______d
Спасибо!

(Оффтоп)

Получил двойное удовольствие: моя идея была очень близка (под влиянием найденных примеров, основанных на системе Радемахера в пространствах функций); мне б ни в жизнь не хватило техники / усидчивости довести идею до конца (хоть я и попытался), а чтобы оценить красивое решение -- как раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.
Сообщение28.05.2015, 17:28 


13/05/15
46
g______d
Спасибо большое. Я забыл совсем про этот сайт. ДАже не искал там. Шикарный пример. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group