Безусловно, но не абсолютно сходящиеся ряды в l_p.

[Dimitrij]

Дана задачка:

В каких пространствах $l_p$ можно построить пример ряда сходящегося безусловно, но не абсолютно.

Ряд сходится безусловно, если он сходится при любой перестановки его элементов(сходимость понимается, как сходимость его частичных сумм по норме моего пространства).

Вот, как я решал, при $p \ge 2$ берем такие $x_n(0,\cdots,(\frac{1}{n}),0,\cdots)$ - элемент в скобках на $n$-м месте.
Почему такие? Потому что переставляй их, или не переставляй, все одно и тоже в сумме получится. Сходится ряд из этих элементов к $s = (1,2^{-1},3^{-1},\cdots)$. Проверим это:

$\left \| \sum_{n = 1}^{N}x_n - s\right \|_{l_p} = \left \| (0,\cdots,0,(N+1)^{-1},(N+2)^{-1},\cdots)\right \|_{l_p} = \left(\left \| \sum_{n = N+1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\right \|\right)^{\frac{1}{p}}$.


Эта штука сходится к нулю, при $N \to \infty$ и $p \ge 2$.
Но такой вот ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится.

Даже при $p = \infty$ все будет отлично. Проблема возникает при $p = 1$. Этот ряд безусловно не сходится к тому $s$. Хоть и википедия говорит об обратном, там ошибка. Так вот, вопрос, как построить пример ряда, который будет сходиться безусловно, но не абсолютно в $l_1$. И если его нельзя построить, как это доказать? И да, вообще, можно ли построить такой пример в $L_1$? Я , просто, брал уже кучу функций, как-то брал экспоненту, но там тож сложно, думал еще где-то в $x_n$ добавить веса, но там тогда громадные сложности с перестановками возникает. Нужно либо симметрично что-то там вставлять, либо фиг его знает. Спасибо, что прочитали мое сообщение и за помощь.

[Dimitrij]

Да, теорема Дворецкого-Роджерса говорит, что в любому бесконечномерном пространстве можно привести такой пример. Но вот сам пример как построить?

[NSKuber]

Dimitrij в сообщении #1020488 писал(а):

Хоть и википедия говорит об обратном, там ошибка.

Мне кажется, это вы википедию неверно прочитали. Там про $p=1$ ничего не утверждается.
Пораскинув слегка мозгами, ничего хорошего в голову не приходит Так что, даже если пример такой есть по приведённой вами теореме, то он может оказаться неконструктивным.

[sup]

В $l_1$ такой пример не существует.
Пусть ряд
$\sum_{n=1}^{\infty}\|x_n\|$
расходится. Докажите, что в таком случае для некоторого $\varphi \in l_{\infty}$ расходится ряд
$\sum_{n=1}^{\infty}|(\varphi, x_n)|$
Затем примените т. Римана о перестановках.

[grizzly]

sup в сообщении #1020633 писал(а):

В $l_1$ такой пример не существует.

Звучит как-то странно, поскольку $l_1$ очевидно банахово и бесконечномерно, а для таких пространств есть общая теорема существования (прямое следствие теоремы Дворецкого-Роджерса, упомянутой выше). Проверьте, пожалуйста, что Вы правильно трактуете формулировки.

Dimitrij
Будьте аккуратнее в формулировках -- одной только бесконечномерности недостаточно для существования (известны обратные примеры для небанаховых бесконечномерных пространств; изучаются целые классы таких пространств).

[sup]

Да, виноват. Я с этим функционалом проврался.

[Dimitrij]

grizzly
Я же не написал, что там могут быть только такие. Я написал, что можно привести такой пример. Вот как его построить.
NSKuber
Уже исправили. Когда я читал пару дней назад, там было $1\ge p\le \infty.$ Но все же, для бесконечности мой пример то же подходит.

Cтоп, задача сформулирована так "можно построить". Как доказать, что в l_1 нельзя построить. Я когда вижу такие формулировки задачи, вообще не понимаю, как их доказывать.

Да, сформулировал не очень удачно, согласен. Из этой теоремы есть следствие, что пример "существует".

[grizzly]

Dimitrij
Я вот об этом говорил:

Dimitrij в сообщении #1020531 писал(а):

теорема Дворецкого-Роджерса говорит, что в любом бесконечномерном пространстве можно привести такой пример

Не в любом; теорема доказана для банаховых. Есть классы пространств, в которых такого нет. Окончательной классификации, кажется, ещё нет. Посмотрел несколько интересных статьей по этому поводу (спасибо, кстати, за тему :)

Я не сомневаюсь, что в $l_1$ и в $L_1$ можно построить конкретные примеры. Но скорее всего эти "конкретные" примеры будут иметь вид схемы построения, к которым потребуется применять какие-нибудь индукции и предельные переходы. Странно, если перед Вами стоит такая учебная задача. Хотя не исключаю, что есть и простая идея.

В каких-то статьях середины прошлого века видел построение таких примеров для рядов функций, в которых рассматривалась поточечная сходимость. Глубоко не разбирал, но какие-то мысли появились. Но я не думаю, что ссылки на те статьи могут Вам пригодиться.

[Dimitrij]

grizzly
Ну почему, мне самому интересно, если тут можно скидывать ссылки, то киньте письмом. Спасибо.

[grizzly]

Я вот об этой статье. (Не жалко, просто неловко что-то рекомендовать, если сам толком не вник.)
Можете ещё по фамилии Кадец с ключевым словом "безусловно" погуглить. Это всё сложно, конечно, но я и сам очень люблю прочитать в сложных статьях хотя бы вводные и обзорные параграфы.

Я сам толком не пробовал построить пример. Если что-то получится, выложу в теме. Вы тоже выкладывайте, если узнаете / получите какой-то результат.

[g______d]

http://math.stackexchange.com/questions ... onvergence

[grizzly]

g______d
Спасибо!

(Оффтоп)

Получил двойное удовольствие: моя идея была очень близка (под влиянием найденных примеров, основанных на системе Радемахера в пространствах функций); мне б ни в жизнь не хватило техники / усидчивости довести идею до конца (хоть я и попытался), а чтобы оценить красивое решение -- как раз.

[Dimitrij]

g______d
Спасибо большое. Я забыл совсем про этот сайт. ДАже не искал там. Шикарный пример. Спасибо.