Функциональный анализ. Спектр оператора. Пространство Харди.

[Dimitrij]

В этом соотношении могу менять только $f(0)$. Ну , может быть, чтобы там не было полюса, сказать, чтобы при таком z.. числитель был равен нулю.

[sup]

Именно так.
Но, похоже, уверенности у Вас в этом нет ...
И это только часть задачи. А еще надо проверять, что коэффициенты будут из $\ell_2$ ...
С такими скоростями Вы будете долго решать эту задачу. Потому и говорю, что надо активнее с ней бороться.
Единственный параметр, которым Вы можете управлять - это $f(0)$. Вот с его помощью и надо строить решение. Потом надо проверять что там с коэффициентами (надо бы посмотреть на примерах как это делают, если своих идей нет). Некоторые $\lambda$ могут оказаться "трудным" случаем. Но не обязательно для всех все выяснять. Надо вспомнить, что спектр оператора - замкнутое множество. В общем, дерзайте.

[Dimitrij]

В общем, я тут затащил, вроде. КОнечно, еще не сильно уверен в своих действиях, но все же. Так вот, хотим, сюръективность. То есть мои функции $f,g$ должны быть из Харди при каких-то лямба и полюсов у них не должно быть.

1) $|\lambda| \ge 2$.

Тогда у функции $f$ есть полюс вида $z = \frac{1}{\lambda}$. Давайте его уберем, то есть занулим числитель в этой точке.

$\frac{1}{\lambda}y_1(\frac{1}{\lambda}) + f(0) = 0$. Так как $f(0)$ я могу брать любой(свободный параметр), то возьму его ясно чему равным $f(0) = -\frac{1}{\lambda}y_1(\frac{1}{\lambda})$.

2)$|\lambda| \le 1$

Тогда у функции $g$ полюс вида $z = \frac{\lambda}{2}$. Действуем аналогично. Берем $f(0) = \frac{1 - \frac{\lambda^2}{2}}{\lambda}y_2(\frac{\lambda}{2}) - y_1(\frac{\lambda}{2})$.

3) $1 < |\lambda| < 2$. Ну, тут и у функции $f$ и у $g$ есть полюса, попытаемся их занулить, то есть наши $f(0)$ должны совпадать при $z = \frac{\lambda}{2}, \frac{1}{\lambda}$. Видим, что они не совпадают, получается, что не можем убрать полюс, то есть это штука будут аналитичны тогда, когда мы выкинем эти значения $\lambda$. То есть эта штука лежит в спектре, а так как он еще и замкнут, то это $1 \ge |\lambda| \le 2$.


Инъективность:

Тут мы предполагаем наши $y_1(z) = y_2(z) = 0$. тогда наша система имеет вид:

$f(z) = \frac{f(0)}{1-z\lambda}$
$g(z) = \frac{-2zf(0)}{2z - \lambda}$

Рассматриваем те случаи, с $\lambda$ и понимаем, что-то про инъективность. Вот, а тут я могу уже сделать выводы не совсем верные, которые будут точны с точностью да наоборот.
В 1) м случае, инъективна.
2) м случае, тоже .
3) там в спектре все лежит. И там все ок.
Или все наоборот) хд, вот не совсем понимаю.