Построение плоскости, содержащей прямые

[Martian]

Здравствуйте! При решении задания возникли вопросы.
Доказать, что прямые $x=x_1+t\cdot q_1$ и $x=x_2+t\cdot q_2$ пересекаются и найти их пересечение. Указать плоскость, которая содержит эти прямые. $x_1=(2,7,-5,2,2)$, $q_1=(14,-8,22,26,-10)$, $x_2=(-3,20,-26,-17,11)$, $q_2=(4,18,-20,-12,8)$.
Я приравняла правые части и, вычтя соответствующие координаты, получила $t=-2$. Подставив это значение в одно из уравнений, получаю $x=(-26,23,-49,-50,22)$. Как я понимаю, это и есть пересечение прямых.
Я не могу понять, как заданы эти прямые. $x,x_1,x_2,q_1,q_2$ - это точки? Если да, то выходит, одна прямая задана точками $(x_1,x)$, а другая - $(x_2,x)$. Если это так, то можно ли тогда просто найти уравнение плоскости по трем точкам? Если прямые заданы параметрически, то почему они заданы только одним уравнением? Или это и вовсе векторы? И верно ли, что речь идет о пятимерном пространстве, т.к. 5 координат?

[provincialka]

Пространство пятимерное.
$x_i$ -- точки, $q_i$ -- векторы.
А вот плоскость в пятимерном пространстве можно задать по-разному. Проще всего в данном случае -- параметрически (с двумя параметрами)

-- 27.05.2015, 18:43 --

Martian в сообщении #1020416 писал(а):

это и есть пересечение прямых

Неудачное какое-то выражение. Это точка пересечения прямых

[TelmanStud]

Martian
Запишите уравнение плоскости в общем виде исходя из размерности Вашего пространства и подставьте в него три точки - точку пересечения прямых и по одной точке с каждой прямой.
Решите полученную систему

[svv]

Martian в сообщении #1020416 писал(а):

Я приравняла правые части и, вычтя соответствующие координаты, получила $t=-2$. Подставив это значение в одно из уравнений, получаю $x=(-26,23,-49,-50,22)$. Как я понимаю, это и есть пересечение прямых.

К сожалению, это неверно. Достаточно подставить $t=-2$ в уравнение второй прямой и найти хотя бы первую координату точки.

Дело в том, что параметр $t$ в уравнении первой прямой и $t$ в уравнении второй прямой — это совершенно разные параметры. Если общая точка у прямых и есть, она получается, когда в первое уравнение подставляем некоторое $t_1$, но во второе — некоторое $t_2$, в общем случае $t_1\neq t_2$.

[provincialka]

TelmanStud
А не проще ли использовать параметрическое представление? Два направляющих вектора уже даны!

[Martian]

Если $q_i$ -- векторы, а $x_i$ -- точки, то $x$ - выражается суммой вектора и точки? Ведь если $t$ - это число/параметр, то умножая его на $q$, получим также вектор. Что можно получить, прибавляя его к точке? И как в этом случае находить точку пересечения прямых?

[svv]

Каждой точке соответствует вектор, он называется радиус-вектор точки. Можете представлять его как стрелочку, которая начинается в начале координат, а заканчивается в точке. Координаты вектора = координаты точки.

Пожалуйста, любую формулу, даже просто букву $x$ окружайте знаками доллара, у нас с этим строго.

[TelmanStud]

provincialka
а я не претендовал, что предложенное проще))

[provincialka]

TelmanStud в сообщении #1020434 писал(а):

а я не претендовал, что предложенное проще))

Не ищете легких путей?
Надо бы спросить у Martian, что он понимает под

Martian в сообщении #1020416 писал(а):

Указать плоскость

[TelmanStud]

provincialka в сообщении #1020436 писал(а):

TelmanStud в сообщении #1020434 писал(а):

а я не претендовал, что предложенное проще))

Не ищете легких путей?
Надо бы спросить у Martian, что он понимает под

Martian в сообщении #1020416 писал(а):

Указать плоскость

Так и сделаем. Дорогой Martian, Вам ближе
$\vec{r}=\vec{r}_0+u\vec{a}+v\vec{b}$ или $A^jx_j+D=0$?

[svv]

Martian

Вектор $\vec a_0=\vec{OA_0}$ — одна из точек прямой.
Вектор $\vec q=\vec{OQ}$ — направляющий вектор.
Любую точку на прямой $\vec a(t)$ тогда можно получить как $\vec a_0+t\;\vec q$.
Например, значению параметра $t=3$ соответствует точка $A_3$:
$\vec{OA_3}=\vec{OA_0}+3\;\vec{OQ}$, или
$\vec a(3)=\vec a_0+3\;\vec q$

(provincialka, TelmanStud)

Martian — девушка.

[Martian]

TelmanStud
Мне ближе $\vec{r}=\vec{r_0}+u\cdot \vec{a}+v\cdot \vec{b}$
svv
Спасибо, теперь понятно, как прямые заданы!
Осталось понять, как найти точку их пересечения. И для написания уравнения плоскости воспользоваться направляющими векторами?

[TelmanStud]

svv в сообщении #1020451 писал(а):

(provincialka, TelmanStud)

Martian — девушка.

Ну тогда совсем другое дело.
Параметр один и тот же. Значение параметра для точки пересечения $t=-\frac12$. Плоскость $\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{q}_1 u+\vec{q}_2v$,
где $\vec{r}_0=\{-5,11,-16,-11,7\}$-точка пересечения

[Martian]

Точно! Спасибо всем огромное!!!

[TelmanStud]

Martian
Не буду писать пожалуйста. Чуть бан за это не дали в прошлый раз))
http://dxdy.ru/topic70573.html