2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:34 


15/07/14
27
У меня есть величина $Z = X + Y$, X и Y распределены равномерно, нужно найти закон распределения Z. Есть формула композиции двух величин $g(z) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx$. Я пробовал применить формулу к двум равномерным законам с плотностью $f(x)=\frac{1}{(\beta-\alpha)}$

Получается $g(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2} = \int\limits_{2\alpha}^{2\beta}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2}=\frac{1}{(\beta-\alpha)^2}\int\limits_{2\alpha}^{2\beta}dx=\frac{2\beta - 2\alpha}{(\beta-\alpha)^2}=\frac{2}{\beta-\alpha}$, то есть вновь равномерный закон распределения, а это полный бред, так как должен получиться закон треугольника с совершенно другой формулой.

Где я ошибся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Aaron в сообщении #1020119 писал(а):
Получается $g(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2}$
Получается интеграл от константы в бесконечных пределах. Дальше не читал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:40 


15/07/14
27
ИСН
я не дописал, что подинтегральная функция равна $\frac{1}{(\beta-\alpha)^2}$ только на интервале $(2\alpha;2\beta)$, на остальных она равна нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Aaron в сообщении #1020127 писал(а):
что подинтегральная функция равна $\frac{1}{(\beta-\alpha)}$ только на интервале $(2\alpha;2\beta)$,

С чего это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:43 


15/07/14
27
Otta
потому что плотность равномерного распределения равна $1/(\beta-\alpha)$ на интервале $(\alpha;\beta)$, а на остальной числовой оси - нулю. А раз у нас сумма равномерных законов, то обе границы удваиваются

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:45 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
С чего это?

У Вас есть интеграл (свертка), вот и извольте его считать. А не фантазировать.

А для этого сперва плотность напишите нормально, лучше прямо сразу.
Aaron в сообщении #1020119 писал(а):
к двум равномерным законам с плотностью $f(x)=\frac{1}{(\beta-\alpha)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 21:51 


15/07/14
27
Otta
я могу его так переписать же $g(z) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx = \int\limits_{-\infty}^{\alpha}0dx + \int\limits_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2} + \int\limits_{\beta}^{+\infty}0dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Плотность-то какая? еще раз во всех деталях, пожалста.
И если у Вас независимости в условии не дано, ничего Вы так не найдете. А если дано, не пишите плотность совместного распределения, сведите к плотностям распределений данных с.в.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:13 


15/07/14
27
Otta
распределения $f_1(x) = \frac{1}{\beta-\alpha}, \alpha<x<\beta$ и $f_2(y) = \frac{1}{\beta-\alpha}, \alpha<y<\beta$.

Независимость дана, значит $f(x,y) = f_1(x)f_2(y) = \frac{1}{\beta-\alpha} \frac{1}{\beta-\alpha}= \frac{1}{(\beta-\alpha)^2}, \alpha < x <\beta, \alpha < y <\beta$

А формула для композиции $g(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(z-x)dx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Хорошо. И чему равна $f_2(z-x)$ при фиксированном значении $z$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:21 


15/07/14
27
Otta
$\frac{1}{\beta-\alpha}$, вроде бы так, ведь переменная значение функции $f_2(y)$ не меняет

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Что, она везде $\frac{1}{\beta-\alpha}$? что значит "переменная значение не меняет"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:27 


15/07/14
27
Otta
если $\alpha < z-x < \beta$, то равно $1/(\beta-\alpha)$. Иначе равно нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ну и когда произведение под интегралом будет ненулевым?

 Профиль  
                  
 
 Re: Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)
Сообщение26.05.2015, 22:36 


15/07/14
27
Otta
$\alpha < x <\beta, 2\alpha < z < 2\beta$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group