Композиция равномерных законов (помогите найти ошибку)

[Aaron]

У меня есть величина $Z = X + Y$, X и Y распределены равномерно, нужно найти закон распределения Z. Есть формула композиции двух величин $g(z) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x,z-x)dx$. Я пробовал применить формулу к двум равномерным законам с плотностью $f(x)=\frac{1}{(\beta-\alpha)}$

Получается $g(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2} = \int\limits_{2\alpha}^{2\beta}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2}=\frac{1}{(\beta-\alpha)^2}\int\limits_{2\alpha}^{2\beta}dx=\frac{2\beta - 2\alpha}{(\beta-\alpha)^2}=\frac{2}{\beta-\alpha}$, то есть вновь равномерный закон распределения, а это полный бред, так как должен получиться закон треугольника с совершенно другой формулой.

Где я ошибся?

[ИСН]

Aaron в сообщении #1020119 писал(а):

Получается $g(z)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2}$

Получается интеграл от константы в бесконечных пределах. Дальше не читал.

[Aaron]

ИСН
я не дописал, что подинтегральная функция равна $\frac{1}{(\beta-\alpha)^2}$ только на интервале $(2\alpha;2\beta)$, на остальных она равна нулю

[Otta]

Aaron в сообщении #1020127 писал(а):

что подинтегральная функция равна $\frac{1}{(\beta-\alpha)}$ только на интервале $(2\alpha;2\beta)$,

С чего это?

[Aaron]

Otta
потому что плотность равномерного распределения равна $1/(\beta-\alpha)$ на интервале $(\alpha;\beta)$, а на остальной числовой оси - нулю. А раз у нас сумма равномерных законов, то обе границы удваиваются

[Otta]

С чего это?

У Вас есть интеграл (свертка), вот и извольте его считать. А не фантазировать.

А для этого сперва плотность напишите нормально, лучше прямо сразу.

Aaron в сообщении #1020119 писал(а):

к двум равномерным законам с плотностью $f(x)=\frac{1}{(\beta-\alpha)}$

[Aaron]

Otta
я могу его так переписать же $g(z) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)dx = \int\limits_{-\infty}^{\alpha}0dx + \int\limits_{\alpha}^{\beta}\frac{dx}{(\beta-\alpha)^2} + \int\limits_{\beta}^{+\infty}0dx$

[Otta]

Плотность-то какая? еще раз во всех деталях, пожалста.
И если у Вас независимости в условии не дано, ничего Вы так не найдете. А если дано, не пишите плотность совместного распределения, сведите к плотностям распределений данных с.в.

[Aaron]

Otta
распределения $f_1(x) = \frac{1}{\beta-\alpha}, \alpha<x<\beta$ и $f_2(y) = \frac{1}{\beta-\alpha}, \alpha<y<\beta$.

Независимость дана, значит $f(x,y) = f_1(x)f_2(y) = \frac{1}{\beta-\alpha} \frac{1}{\beta-\alpha}= \frac{1}{(\beta-\alpha)^2}, \alpha < x <\beta, \alpha < y <\beta$

А формула для композиции $g(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)f_2(z-x)dx$

[Otta]

Хорошо. И чему равна $f_2(z-x)$ при фиксированном значении $z$?

[Aaron]

Otta
$\frac{1}{\beta-\alpha}$, вроде бы так, ведь переменная значение функции $f_2(y)$ не меняет

[Otta]

Что, она везде $\frac{1}{\beta-\alpha}$? что значит "переменная значение не меняет"?

[Aaron]

Otta
если $\alpha < z-x < \beta$, то равно $1/(\beta-\alpha)$. Иначе равно нулю.

[Otta]

Ну и когда произведение под интегралом будет ненулевым?

[Aaron]

Otta
$\alpha < x <\beta, 2\alpha < z < 2\beta$