Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[Oleg Zubelevich]

Xaositect в сообщении #1019474 писал(а):

Суть как раз не в том, что мы переписываем одно и то же в координатах и без. Суть в том, что инвариантное определение часто дает понимание того, а на что же мы смотрим.
Например, кокасательное пространство в точке $P$ можно определить как $I_P/I^2_P$, где $I_P$ - идеал (дифференцируемых) функций, равных нулю в точке $P$.
Почему я считаю, что это определение лучше координатного?

лучше координатного\хуже координатного и т.д., все это зависит от того, какая задача решается. для одних задач удобно одно, для других другое. понимать надо все варианты и связи между ними. Вот забыл сейчас к сожалению где, где-то там в недрах форума доказывается в инвариантном виде какое-то тривиальное утверждение про связности. помню только, что в координатах оно проверяется банальным дифференцированием, в две строчки, а в инвариантном виде -- страница неочевидных выкладок. ну и к чему это? Бывает наоборот.



-- Вт май 26, 2015 00:01:33 --

к этому примыкает еще одна тема: всевозможные канонические координаты. когда существованиее координат, в которых объект имеет определенный вид само является инвариантным геометрическим фактом (или, лучше сказать, вид объекта в этих координатах имеет инвариантую природу), как в случае теоремы Жордана.

-- Вт май 26, 2015 00:14:09 --

вот ,кстати, задача. доказать в инвариантном виде (со всеми определениями-- тоже инвариантными) следующий факт

$$[u,v]=0\Longleftrightarrow g^t_u\circ g^s_v(x)=g^s_v\circ g^t_u(x)$$

. А потом сравним сложность рассуждений с координатным доказательством по теореме о авыпрямлении векторного поля.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1019653 писал(а):

доказать в инвариантном виде (со всеми определениями-- тоже инвариантными) следующий факт

Введем оператор $\exp(tu)$, который функции $f$ сопоставляет функцию $f(x,t)$, решающую уравнение $\frac{d}{dt}f(x,t)=u f(x,t)$, где $u$ -- векторное поле. Это просто действие группы диффеоморфизма на функцию заменой переменных. Поэтому утверждение, которое хотелось бы доказать, переписывается в виде
$[\exp(tu),\exp(sv)]f=0$ для любой функции $f$. Если продифференцировать по $s$ и по $t$, вылезет как раз коммутатор. Поэтому

$$ \frac{d}{dt} [\exp(tu),\exp(sv)]=\mathrm{const} =0 $$

(т. к. при $s=0$ это нуль). Аналогично, $[\exp(tu),\exp(sv)]=\mathrm{const}=0$.

[pon4ik]

Munin в сообщении #1019436 писал(а):

pon4ik в сообщении #1018883 писал(а):

Пожалуйста, приведите мне пример тензора, который нельзя понять, не зная, что такое тензор.

Ну не знаю, вы трилинейные или кубические формы не пробовали исследовать?

Да, было дело.

Правда, определение трилинейных форм таки сильно проще общего определения тензора.

Кубические формы? Если Вы говорите о кубических кривых, то я не очень понимаю причем тут тензоры.

[Munin]

pon4ik в сообщении #1019703 писал(а):

Правда, определение трилинейных форм таки сильно проще общего определения тензора.

Ну, $n$-линейных - уже не сильно проще.

pon4ik в сообщении #1019703 писал(а):

Кубические формы? Если Вы говорите о кубических кривых, то я не очень понимаю причем тут тензоры.

Я имею в виду аналог линейных форм (1-й степени) и квадратичных (2-й степени) для $n=3.$ Если $f(x_1,x_2,x_3)$ - трилинейная форма, то $f(x,x,x)$ - соответствующая ей кубическая форма.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #1019696 писал(а):

Поэтому утверждение, которое хотелось бы доказать, переписывается в виде
$[\exp(tu),\exp(sv)]f=0$ для любой функции $f$. Если продифференцировать по $s$ и по $t$, вылезет как раз коммутатор

там коммутатор (векторных полей) вылезает только при $s=t=0$, а так у векторных полей будут разные аргументы. я не понял как Вы доказываете утверждение $[u,v]=0\Longrightarrow g^t_u\circ g^s_v(x)=g^s_v\circ g^t_u(x)$.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1019793 писал(а):

там коммутатор (векторных полей) вылезает только при $s=t=0$, а так у векторных полей будут разные аргументы

Я пользуюсь равенством $\frac{d}{dt} (\exp(tu) f)=u \exp(tu) f$ и ничем больше. Оно верно при любом $t$, при котором экспоненциальное отображение определено. $u$ и $\exp(tu)$ -- операторы.

[Oleg Zubelevich]

там еще аргументы писать желательно, тогда путаницы не будет.

g______d в сообщении #1019796 писал(а):

венством $\frac{d}{dt} (\exp(tu) f)=u \exp(tu) f$

в этой формуле $u=u(g^t(x))$ или другими словами $\frac{d}{dt}f(g^t_u(x))=(L_u f)(g^t(x)),\quad (L_u f)(x)=u^j(x)\frac{\partial}{\partial x^j}f(x)$

[Xaositect]

g______d в сообщении #1019796 писал(а):

Я пользуюсь равенством $\frac{d}{dt} (\exp(tu) f)=u \exp(tu) f$ и ничем больше. Оно верно при любом $t$, при котором экспоненциальное отображение определено. $u$ и $\exp(tu)$ -- операторы.

Oleg Zubelevich, насколько я понял, имеет в виду, что если $\exp(tu)\exp(sv)$ все таки не равно $\exp(sv)\exp(tu)$, то после дифференцирования мы получим $uv$ и $vu$ в касательных пространствах над разными точками.

[g______d]

Да, может быть, так и не получится. Я подумаю.

[pon4ik]

Munin в сообщении #1019707 писал(а):

pon4ik в сообщении #1019703 писал(а):

Правда, определение трилинейных форм таки сильно проще общего определения тензора.

Ну, $n$-линейных - уже не сильно проще.

pon4ik в сообщении #1019703 писал(а):

Кубические формы? Если Вы говорите о кубических кривых, то я не очень понимаю причем тут тензоры.

Я имею в виду аналог линейных форм (1-й степени) и квадратичных (2-й степени) для $n=3.$ Если $f(x_1,x_2,x_3)$ - трилинейная форма, то $f(x,x,x)$ - соответствующая ей кубическая форма.

А я считаю, что сильно проще, ибо исчезает необходимость понимать, в чем смысл линейной функции на произведениии векторных пространств и его двойственных. Не подскажете пример линейного оператора, который естественно определить как функцию из произведения пространства и его двойственного?

Все же я хотел сказать о другом. Просто порой люди пишут не 2-форма, а сечение внешнего квадрата кокасательного расслоения. По кой черт?

Промолчим о механике сплошных сред, при изучении которой, математику приходится постоянно понимать, что есть тензор 2-го ранга, и отождествление тензоров различных типов при помощи скалярного произведения только усугубляет дело.

-- 26.05.2015, 11:02 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1019653 писал(а):

Xaositect в сообщении #1019474 писал(а):

Суть как раз не в том, что мы переписываем одно и то же в координатах и без. Суть в том, что инвариантное определение часто дает понимание того, а на что же мы смотрим.
Например, кокасательное пространство в точке $P$ можно определить как $I_P/I^2_P$, где $I_P$ - идеал (дифференцируемых) функций, равных нулю в точке $P$.
Почему я считаю, что это определение лучше координатного?

лучше координатного\хуже координатного и т.д., все это зависит от того, какая задача решается. для одних задач удобно одно, для других другое. понимать надо все варианты и связи между ними. Вот забыл сейчас к сожалению где, где-то там в недрах форума доказывается в инвариантном виде какое-то тривиальное утверждение про связности. помню только, что в координатах оно проверяется банальным дифференцированием, в две строчки, а в инвариантном виде -- страница неочевидных выкладок. ну и к чему это? Бывает наоборот.



-- Вт май 26, 2015 00:01:33 --

к этому примыкает еще одна тема: всевозможные канонические координаты. когда существованиее координат, в которых объект имеет определенный вид само является инвариантным геометрическим фактом (или, лучше сказать, вид объекта в этих координатах имеет инвариантую природу), как в случае теоремы Жордана.

-- Вт май 26, 2015 00:14:09 --

вот ,кстати, задача. доказать в инвариантном виде (со всеми определениями-- тоже инвариантными) следующий факт

$$[u,v]=0\Longleftrightarrow g^t_u\circ g^s_v(x)=g^s_v\circ g^t_u(x)$$

. А потом сравним сложность рассуждений с координатным доказательством по теореме о авыпрямлении векторного поля.

Интересно, я выражу общее мнение, если скажу, что Ваша задача просто и понятно объяснена в Матметодах Арнольда? Там, конечно, все бескоординатно.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

pon4ik в сообщении #1019837 писал(а):

я выражу общее мнение, если скажу, что Ваша задача просто и понятно объяснена в Матметодах Арнольда? Там, конечно, все бескоординатно.

Выражать общее мнение Вас никто не уполномочивал. Свое научитесь выражать без ляпов.
Арнольд:

[Munin]

pon4ik в сообщении #1019837 писал(а):

А я считаю, что сильно проще, ибо исчезает необходимость понимать, в чем смысл линейной функции на произведениии векторных пространств и его двойственных.

А тензор не обязательно определять именно так. Можно его как полилинейную функцию на одном векторном и его двойственном. Что, разумеется, изоморфно.

pon4ik в сообщении #1019837 писал(а):

Все же я хотел сказать о другом. Просто порой люди пишут не 2-форма, а сечение внешнего квадрата кокасательного расслоения. По кой черт?

Я бы сказал, тут скорее всего привлекаются разные образы и интуиции. От них будут разные "шаг в сторону, прыжок на месте". Например, кокасательное расслоение можно заменить каким угодно - а? А глядя на 2-форму, такого не скажешь (зато про $p$-форму подумаешь).

Я на эту тему имею давно обкатанный, и всё ещё зудящий, пример в физике. Закон Ньютона (aka Кулона). Великий Ньютон (aka Кулон) писал его в виде $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^2},$ а вот не менее великий Пуассон (aka Лаплас) - как $\Delta\varphi=-4\pi\,\rho.$ Как мы сейчас знаем, это абсолютно одно и то же. Но ведь это было не одно и то же для них, для учёных того времени! Это было не одно и то же на идейном уровне. От $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^2}$ мысли идут в одних направлениях, например, в сторону закона Ньюкомба $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^{2+\alpha}},$ а от $\Delta\varphi=-4\pi\,\rho$ - в совершенно других, например, в сторону Максвелла (aka Д'Аламбера) $\square A^\mu=4\pi\,j^\mu,$ в сторону Юкавы (aka Гельмгольца) $(\Delta-m^2)\varphi=4\pi\,\rho,$ в сторону Янга-Миллса $(D^\mu F_{\mu\nu})^a=-J_\mu^a.$ Так что, перейдя от одной формы к другой, люди сменили перспективу, в которой видели один и тот же предмет, и это было хорошо.

Также и к слову о скалярном произведении и отождествлении по нему. Можно отождествлять, а можно не отождествлять. Казалось бы, какая разница? А вот такая же, идейная. Не отождествляя чего-то заранее, мы оставляем себе возможность не делать отождествления вообще. А отождествляя что-то - имеем какие-то другие возможности. Конечно, всё это доступно и "с другого идейного полюса", но означает, что надо пропахать носом выкладки туда-сюда, а прозрачности, интуиции и очевидности нет.

Поэтому, вообще говоря, стоит стоять на обоих идейных позициях сразу (или на $n,$ сколько их там). Думая одно, говорить другое, формулируя одно предложение, переводить его сразу в уме на другой язык. Этакое "двоемыслие". Но это, увы, становится пожеланием уже студентам в уже хорошо изученных и истоптанных областях, а вот для исследователя в новой области - доступно не всегда.

[pon4ik]

Oleg Zubelevich в сообщении #1019905 писал(а):

(Оффтоп)

pon4ik в сообщении #1019837 писал(а):

я выражу общее мнение, если скажу, что Ваша задача просто и понятно объяснена в Матметодах Арнольда? Там, конечно, все бескоординатно.

Выражать общее мнение Вас никто не уполномочивал. Свое научитесь выражать без ляпов.
Арнольд:

Ну вот уберите это предложение и перечитаете доказательство, пожалуйста. Считаете, что речь идет о точке.
Доказательство станет инвариантным.

Все используемые им вспомогательные утверждения инвариантны. Согласны?

[Oleg Zubelevich]

Хорошо, убрал это предложение. Получилось доказательсво на страницу (это при том, что там очень конспективно написано). Доказательство в координатах в одно действие и гораздо короче. Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.

[pon4ik]

Munin в сообщении #1019958 писал(а):

pon4ik в сообщении #1019837 писал(а):

Все же я хотел сказать о другом. Просто порой люди пишут не 2-форма, а сечение внешнего квадрата кокасательного расслоения. По кой черт?

Я бы сказал, тут скорее всего привлекаются разные образы и интуиции. От них будут разные "шаг в сторону, прыжок на месте". Например, кокасательное расслоение можно заменить каким угодно - а? А глядя на 2-форму, такого не скажешь (зато про $p$-форму подумаешь).

Я на эту тему имею давно обкатанный, и всё ещё зудящий, пример в физике. Закон Ньютона (aka Кулона). Великий Ньютон (aka Кулон) писал его в виде $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^2},$ а вот не менее великий Пуассон (aka Лаплас) - как $\Delta\varphi=-4\pi\,\rho.$ Как мы сейчас знаем, это абсолютно одно и то же. Но ведь это было не одно и то же для них, для учёных того времени! Это было не одно и то же на идейном уровне. От $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^2}$ мысли идут в одних направлениях, например, в сторону закона Ньюкомба $F=\dfrac{kq_1 q_2}{R^{2+\alpha}},$ а от $\Delta\varphi=-4\pi\,\rho$ - в совершенно других, например, в сторону Максвелла (aka Д'Аламбера) $\square A^\mu=4\pi\,j^\mu,$ в сторону Юкавы (aka Гельмгольца) $(\Delta-m^2)\varphi=4\pi\,\rho,$ в сторону Янга-Миллса $(D^\mu F_{\mu\nu})^a=-J_\mu^a.$ Так что, перейдя от одной формы к другой, люди сменили перспективу, в которой видели один и тот же предмет, и это было хорошо.

Также и к слову о скалярном произведении и отождествлении по нему. Можно отождествлять, а можно не отождествлять. Казалось бы, какая разница? А вот такая же, идейная. Не отождествляя чего-то заранее, мы оставляем себе возможность не делать отождествления вообще. А отождествляя что-то - имеем какие-то другие возможности. Конечно, всё это доступно и "с другого идейного полюса", но означает, что надо пропахать носом выкладки туда-сюда, а прозрачности, интуиции и очевидности нет.

Поэтому, вообще говоря, стоит стоять на обоих идейных позициях сразу (или на $n,$ сколько их там). Думая одно, говорить другое, формулируя одно предложение, переводить его сразу в уме на другой язык. Этакое "двоемыслие". Но это, увы, становится пожеланием уже студентам в уже хорошо изученных и истоптанных областях, а вот для исследователя в новой области - доступно не всегда.

Все же не верится, что введение тензорных степеней расслоений и определение связности, как "естественной" операции, удовлетворяющей свойствам 1,2,3,4,5 может быть интуитивно и образно.
Впрочем, может Вы и правы.

-- 26.05.2015, 15:30 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1019970 писал(а):

Хорошо, убрал это предложение. Получилось доказательсво на страницу (это при том, что там очень конспективно написано). Доказательство в координатах в одно действие и гораздо короче. Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.

Стремимся ли мы изложить наши мысли короче? - не в ущерб понятности. Стремимся ли мы изложить наши мысли яснее и проще? - было бы здорово!

Не имею представления, как измерить простоту доказательства, но не в числе же строк?! Доказательство Арнольда прозрачное и конструктивное. Эта идея, кроме того, используется и при доказательстве ряда других утверждений такого рода.

Ваше рассуждение использует факт (теорема о выпрямлении), который не тривиален, если его не знать. То есть "бОльшая доля сложности" скрыта в нем.

Я не хочу сказать, что так доказывать - это что-то плохое. Просто если очень захотеть, то часто можно придумать инвариантное рассуждение, которое все сразу объясняет, понятно.
Доказательство Арнольда (все его доказательства) иллюстрирует именно это.