Все же я хотел сказать о другом. Просто порой люди пишут не 2-форма, а сечение внешнего квадрата кокасательного расслоения. По кой черт?
Я бы сказал, тут скорее всего привлекаются разные образы и интуиции. От них будут разные "шаг в сторону, прыжок на месте". Например, кокасательное расслоение можно заменить каким угодно - а? А глядя на 2-форму, такого не скажешь (зато про
-форму подумаешь).
Я на эту тему имею давно обкатанный, и всё ещё зудящий, пример в физике. Закон Ньютона (aka Кулона). Великий Ньютон (aka Кулон) писал его в виде
а вот не менее великий Пуассон (aka Лаплас) - как
Как мы сейчас знаем, это абсолютно одно и то же. Но ведь это было не одно и то же для них, для учёных того времени! Это было не одно и то же на идейном уровне. От
мысли идут в одних направлениях, например, в сторону закона Ньюкомба
а от
- в совершенно других, например, в сторону Максвелла (aka Д'Аламбера)
в сторону Юкавы (aka Гельмгольца)
в сторону Янга-Миллса
Так что, перейдя от одной формы к другой, люди сменили перспективу, в которой видели один и тот же предмет, и это было хорошо.
Также и к слову о скалярном произведении и отождествлении по нему. Можно отождествлять, а можно не отождествлять. Казалось бы, какая разница? А вот такая же, идейная. Не отождествляя чего-то заранее, мы оставляем себе возможность не делать отождествления вообще. А отождествляя что-то - имеем какие-то другие возможности. Конечно, всё это доступно и "с другого идейного полюса", но означает, что надо пропахать носом выкладки туда-сюда, а прозрачности, интуиции и очевидности нет.
Поэтому, вообще говоря, стоит стоять на обоих идейных позициях сразу (или на
сколько их там). Думая одно, говорить другое, формулируя одно предложение, переводить его сразу в уме на другой язык. Этакое "двоемыслие". Но это, увы, становится пожеланием уже студентам в уже хорошо изученных и истоптанных областях, а вот для исследователя в новой области - доступно не всегда.
Все же не верится, что введение тензорных степеней расслоений и определение связности, как "естественной" операции, удовлетворяющей свойствам 1,2,3,4,5 может быть интуитивно и образно.
Впрочем, может Вы и правы.
-- 26.05.2015, 15:30 --Хорошо, убрал это предложение. Получилось доказательсво на страницу (это при том, что там очень конспективно написано). Доказательство в координатах в одно действие и гораздо короче. Доказательство Арнольда иллюстрирует то, что я сказал выше: часто доказательства в инвариантной форме оказываются оказываются длинее и сложнее координатных доказательств.
Стремимся ли мы изложить наши мысли короче? - не в ущерб понятности. Стремимся ли мы изложить наши мысли яснее и проще? - было бы здорово!
Не имею представления, как измерить простоту доказательства, но не в числе же строк?! Доказательство Арнольда прозрачное и конструктивное. Эта идея, кроме того, используется и при доказательстве ряда других утверждений такого рода.
Ваше рассуждение использует факт (теорема о выпрямлении), который не тривиален, если его не знать. То есть "бОльшая доля сложности" скрыта в нем.
Я не хочу сказать, что так доказывать - это что-то плохое. Просто если очень захотеть, то часто можно придумать инвариантное рассуждение, которое все сразу объясняет, понятно.
Доказательство Арнольда (все его доказательства) иллюстрирует именно это.