2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.
Сообщение26.05.2015, 13:11 


13/05/15
46
У меня есть такая задачка:

При каких $\alpha$ будет компактным оператор $T : L_2[1,+\infty) \to L_2[1, +\infty)$:

$(Tf)(x) = x^{\alpha} \cdot \int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy$, где $f\in L_2$, $x \in [1,+\infty)$.

Есть такая теорема, которая говорит, что если у нас интегральный оператор типа Гильберта-Шмидта, то он компактен. Так вот, мой оператор будет таковым, если $\alpha<0$. При $\alpha>0$ он не является непрерывным, следовательно компактным тоже. Получается, что интересен случай, когда $\alpha = 0$. Как показать, что он не будет компактным? КАк показать, что образ шара, не предкомпактен? С чего начать вообще?
Спасибо заранее за то, что прочитали мое сообщение и за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.
Сообщение26.05.2015, 13:28 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Гильбертшмидтовость при $\alpha<0$ не проверял, но: Вы уверены, то при $\alpha=0$ он ограничен?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.
Сообщение26.05.2015, 13:40 


13/05/15
46
ewert
$|{\int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy}| \le \sqrt{\int_{x}^{\infty}\frac{1}{y^2}dy} ||f||_{L_2}$. Получается, что он не является ограниченным.

А то , что он вида Гильберта-Шмидта, я просто посмотрел, когда вот такая вот штука конечна

$\int_{1}^{\infty}\int_{x}^{\infty}\frac{x^{2\alpha}}{y^2}dydx$. Он берется, и получаю, что при $\alpha < 0 $ эта штука конечна, значит оператор компактен.

Погодите, так получается, что этого достаточно для решения задачи?
Тогда еще вопрос, если оператор в бесконечномерном пространстве неограниченный, то можно ли из этого сделать вывод, что он не является компактным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.
Сообщение26.05.2015, 13:59 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dimitrij в сообщении #1019864 писал(а):
Тогда еще вопрос, если оператор в бесконечномерном пространстве неограниченный, то можно ли из этого сделать вывод, что он не является компактным?

А как Вы думаете: почему синонимом термина "компактный оператор" является "вполне непрерывный оператор"?...

Dimitrij в сообщении #1019864 писал(а):
$|{\int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy}| \le \sqrt{\int_{x}^{\infty}\frac{1}{y^2}dy} ||f||_{L_2}$. Получается, что он не является ограниченным.

При таком направлении неравенства разве что и можно получить, то разве что ограниченность, но никак не наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.
Сообщение26.05.2015, 14:01 


13/05/15
46
Да,чего-то я с неравенством фигню написал. А могли бы подсказать, какие есть оценки снизу? Я же не могу сказать, что моя функция $f\ge1$ и тогда он точно неограниченный ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group