Функан. Компактность оператора.Интегральный оператор.

[Dimitrij]

У меня есть такая задачка:

При каких $\alpha$ будет компактным оператор $T : L_2[1,+\infty) \to L_2[1, +\infty)$:

$(Tf)(x) = x^{\alpha} \cdot \int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy$, где $f\in L_2$, $x \in [1,+\infty)$.

Есть такая теорема, которая говорит, что если у нас интегральный оператор типа Гильберта-Шмидта, то он компактен. Так вот, мой оператор будет таковым, если $\alpha<0$. При $\alpha>0$ он не является непрерывным, следовательно компактным тоже. Получается, что интересен случай, когда $\alpha = 0$. Как показать, что он не будет компактным? КАк показать, что образ шара, не предкомпактен? С чего начать вообще?
Спасибо заранее за то, что прочитали мое сообщение и за помощь.

[ewert]

Гильбертшмидтовость при $\alpha<0$ не проверял, но: Вы уверены, то при $\alpha=0$ он ограничен?...

[Dimitrij]

ewert
$|{\int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy}| \le \sqrt{\int_{x}^{\infty}\frac{1}{y^2}dy} ||f||_{L_2}$. Получается, что он не является ограниченным.

А то , что он вида Гильберта-Шмидта, я просто посмотрел, когда вот такая вот штука конечна

$\int_{1}^{\infty}\int_{x}^{\infty}\frac{x^{2\alpha}}{y^2}dydx$. Он берется, и получаю, что при $\alpha < 0 $ эта штука конечна, значит оператор компактен.

Погодите, так получается, что этого достаточно для решения задачи?
Тогда еще вопрос, если оператор в бесконечномерном пространстве неограниченный, то можно ли из этого сделать вывод, что он не является компактным?

[ewert]

Dimitrij в сообщении #1019864 писал(а):

Тогда еще вопрос, если оператор в бесконечномерном пространстве неограниченный, то можно ли из этого сделать вывод, что он не является компактным?

А как Вы думаете: почему синонимом термина "компактный оператор" является "вполне непрерывный оператор"?...

Dimitrij в сообщении #1019864 писал(а):

$|{\int_{x}^{\infty}\frac{f(y)}{y}dy}| \le \sqrt{\int_{x}^{\infty}\frac{1}{y^2}dy} ||f||_{L_2}$. Получается, что он не является ограниченным.

При таком направлении неравенства разве что и можно получить, то разве что ограниченность, но никак не наоборот.

[Dimitrij]

Да,чего-то я с неравенством фигню написал. А могли бы подсказать, какие есть оценки снизу? Я же не могу сказать, что моя функция $f\ge1$ и тогда он точно неограниченный ?