Квантование поля

[Cos(x-pi/2)]

kw_artem

kw_artem в сообщении #1019452 писал(а):

почему во втором слагаемом индекс поменялся с $\mathbf{-k}$ на $\mathbf{k}$, хотя не должен. Похоже на опечатку

Да, верно Вы заметили - в книге должна быть вот такая формула:

$\mathbf{\dot{A}_k}=-ick(\mathbf{a_k}-\mathbf{a^{*}_{-k}})$ .

Легко проверяется, что тогда дальше выйдет именно то, что надо, как в ЛЛ-2 и написано: "подставив это в (52,8) ... получим окончательно ... (52,11)." (А иначе правильного ответа (52,11) для энергии поля не получится).

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Что-то я задумался.

Мы можем взять конечный объём, но мы должны наложить на него какие-то граничные условия. Если мы наложим граничные условия (например, отражающие, или циклические, как у тора), то тогда мы сможем написать $\mathbf{a}_\mathbf{k}=\mathbf{a}_{-\mathbf{k}},$ или какое-то другое соотношение между ними. Но если мы не наложим граничных условий, пытаясь писать соотношения в более общем виде, то окажемся в худшем положении: мы не сможем написать уравнение эволюции, такое как

$$\ddot{\mathbf{A}}_\mathbf{k}+c^2k^2\mathbf{A}_\mathbf{k}=0.\eqno(52.4)$$

Ведь, чтобы написать такое уравнение, надо чтобы эволюция поля в объёме однозначно определялась начальными условиями, а без граничных условий это будет не так: извне в объём могут прилететь какие-то новые электромагнитные волны, которые нельзя было предсказать по внутреннему содержимому этого объёма заранее.

А граничных условий ЛЛ не оговаривает, поросёнок такой. О них приходится догадываться.

-- 28.05.2015 11:42:45 --

А, не, тьфу. Явно же сказано в начале параграфа: $\mathbf{A}_{-\mathbf{k}}^{\vphantom{*}}=\mathbf{A}_\mathbf{k}^*.$

[Cos(x-pi/2)]

Munin в сообщении #1020662 писал(а):

А граничных условий ЛЛ не оговаривает, поросёнок такой. О них приходится догадываться.

Ну, ведь это уже 2-ой том; наверное, считается, что студенты, добравшиеся до ЛЛ-2, уже слыхали про ряды Фурье. Для таких студентов граничные условия фактически указаны, хотя и "не названы вслух".

Ведь в самом начале § 52 говорится, что мол, давайте рассмотим свободное поле в прямоугольном параллелепипеде со сторонами $A,\, B, \, C.$ И далее: "мы можем тогда разложить все величины, характеризующие поле в этом параллелепипеде, в тройной ряд Фурье (по трем координатам)". А чуть ниже приведена формула (52,2) - стандартное выражение для дискретных компонент волнового вектора.

Таким образом, без сомнения, ЛЛ подразумевает, что поле подчинено циклическим условиям. Их можно назвать также условиями пространственной периодичности; ведь мы ж знаем, что ряд Фурье представляет именно периодическую функцию:

$$\mathbf{A}(x+A,\,y+B, \, z+C, \, t) = \mathbf{A}(x,\,y, \, z, \, t)$$

От себя добавлю, что поскольку вообразить 3-тор трудно, то легче наглядно интерпретировать периодические условия так: будто бесконечное пространство разбито на одинаковые "ящики квантования" с объемом $V=ABC,$ и мы налагаем условие одинаковости конфигураций поля в каждом ящике. Формула (52,1)

$$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\sum_{\mathbf{k}} \mathbf{A_k}(t)\,e^{i \mathbf{k \cdot r}}$$

показывает, что такое свойство периодичности сохраняется в каждый момент времени.

Таким образом, разложив заданную в одном ящике $V$ начальную конфигурацию поля $\mathbf{A}(\mathbf{r},0)$ в этот тройной ряд Фурье, т.е. задав все коэффициенты $\mathbf{A_k}(0),$ мы тем самым задали такие же начальные конфигурации поля во всех ящиках (если представлять себе не 3-тор, а бесконечное пространство, составленное из идентичных ящиков.) Тогда временная эволюция пойдет одинако во всех ящиках, и нам достаточно следить за картиной лишь в одном из объемов $V.$ Указанная выше периодичность гарантирует, что в этот ящик $V$ никогда не прилетят какие-то новые электромагнитные поля, которые нельзя было бы предсказать по содержимому этого объема заранее. Поле в объеме $V$ будет как-то меняться со временем; скажем, из угла в угол могут мчаться волновые пакеты всякой разной формы, но эта картина будет одной и той же во всех ящиках.

Кстати, можно также понимать "ряд Фурье" и просто как удобный способ краткой записи, как "синоним" для более громоздкого интегрального представления поля в неограниченно большом объёме: при $V \to \infty$ применима формула перехода от ряда Фурье к интегралу

$$\dfrac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \, ... \to \int {\dfrac {d^3 \mathbf{k}}{(2 \pi)^3} \, ... }$$

В этом варианте (а он и используется в практических расчетах, ибо на практике вычислять интегралы люди умеют гораздо лучше, чем суммировать ряды) по заданной начальной конфигурации поля $\mathbf{A}(\mathbf{r},0)$ можно найти коэффициенты $\mathbf{A_k}(0),$ которыми определится эволюция поля теперь уже в бесконечном объёме. Так что, и в этом варианте в наше рассмотрение ничего не прилетит такое, чего бы нельзя было предсказать заранее по начальным условиям.

[Munin]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1020850 писал(а):

Таким образом, без сомнения, ЛЛ подразумевает, что поле подчинено циклическим условиям.

Ну вот, видимо.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1020850 писал(а):

$$\mathbf{A}(x+A,\,y+B, \, z+C, \, t) = \mathbf{A}(x,\,y, \, z, \, t)$$

$$\mathbf{A}(x+A,\,y,\,z,\,t)=\mathbf{A}(x,\,y+B,\,z,\,t)=\mathbf{A}(x,\,y,\,z+C,\,t)=\mathbf{A}(x,\,y,\, z,\,t),$$

вы хотели сказать.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1020850 писал(а):

Кстати, можно также понимать "ряд Фурье" и просто как удобный способ краткой записи, как "синоним" для более громоздкого интегрального представления поля в неограниченно большом объёме

А вот тут начинаются уже какие-то функанные заморочки, которых я боюсь. Пространства функций, условия интегрируемости...