Прямое и обратное преобразования Фурье

[MestnyBomzh]

Munin
Разве? про коэффициент понятно, но в экспоненте же проблема будет - знак другой

[arseniiv]

Munin в сообщении #1019712 писал(а):

По крайней мере, $F^4=1.$

Увы, не при всяком определении. Может получиться и умножение на другую константу.

MestnyBomzh в сообщении #1019605 писал(а):

На семинаре нам сказали, что верно равенство:
$F^{-1} [ \psi_1 \cdot \psi_2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} F^{-1} * \psi_1 F^{-1} \psi_2$

Силился понять, что значит свёртка оператора с функцией, и не смог.

[MestnyBomzh]

arseniivА, ну я там, конечно же, отпечатался. Там свертка двух обратных преобразований Фурье

[arseniiv]

Ну тогда берём

MestnyBomzh в сообщении #1019605 писал(а):

$F [ \psi_1 \cdot \psi_2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} F \psi_1 * F \psi_2$

и, делая обратное преобразование обоих частей, полагаем при этом $\psi_i = F^{-1}\varphi_i$, из чего получается

$$F^{-1}\varphi_1\cdot F^{-1}\varphi_2 = \frac1{\sqrt{2\pi}}F^{-1}[\varphi_1\cdot\varphi_2],$$

что, действительно, смущает несовпадением коэффициента. Ответ как раз в разноте определений преобразования Фурье — кто экспоненту с минусом возьмёт, кто с плюсом, а кто и вообще коэффициент прединтегральный возьмёт поменяет на $(2\pi)^{\pm1}$! Сравните определения в вашем курсе и в источнике второй формулы, и, по идее, они не совпадут как раз ровно знаком экспоненты.

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #1019710 писал(а):

Как вычислить, например, $F(\frac{1}{x-2i})$?

Без ТФКП -- уныло; не стоит даже и время зря тратить, поскольку через ТФКП -- мгновенно.

-- Вт май 26, 2015 11:33:17 --

arseniiv в сообщении #1019730 писал(а):

что, действительно, смущает несовпадением коэффициента. Ответ как раз в разноте определений преобразования Фурье — кто экспоненту с минусом возьмёт, кто с плюсом,

Не надо смущаться, и плюс-минусы тут не при чём. "Лишний" множитель выскакивает, условно говоря, просто по соображениям размерности.

MestnyBomzh в сообщении #1019713 писал(а):

в экспоненте же проблема будет - знак другой

У преобразования Фурье спектр состоит ровно из четырёх точек (собственных чисел бесконечной кратности): $1,\;-1,\;i,\;-i$. Соответственно, у обратного оператора -- тоже, и с теми же собственными функциями. Поэтому квадраты прямого и обратного преобразований совпадают: и то, и другое -- это разность ортопроекторов на подпространство чётных функций и на подпространство нечётных.

[arseniiv]

ewert в сообщении #1019787 писал(а):

Не надо смущаться, и плюс-минусы тут не при чём. "Лишний" множитель выскакивает, условно говоря, просто по соображениям размерности.

Лишний множитель не смущает, пусть уж будет. Да, действительно, замена плюса на минус не даст обращения множителя в формуле для свёртки и, значит, там в определениях преобразования и множители разные, а знаки как раз не обязательно. (Что не отменяет того, что знаки выбирают по-разному, и на других формулах это сказывается!)