Колебания кольцевой мембраны

[PeterUser]

Где найти пример решенной задачи о колебаниях кольцевой мембраны

[Brukvalub]

Было бы хорошо, если бы вы написали уравнение, описывающее процесс таких колебаний. Тогда можно было бы найти способ решения этого уравнения.

[PeterUser]

Задача колебания мембраны сводится к следующему уравнению:
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2(\frac{\partial^2u}{\partialr r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\Theta^2})$
при:
$a_1 \leqslant r \leqslant a_2$
$0\leqslant\Theta\leqslant2\pi$

с граничными условиями: $u=0 при $r=a_{1}$
$u=0$ при $r=a_{2}$

решение ищем в виде: $u=R(r)\Theta(\theta)T(t)$

Тогда для радиальной компоненты получаем:
$R(r)=c_{1}J_m(\alpha$r)+c_{2}Y_m(\alpha(r))$
как решение уравнения Бесселя

применим граничные условия:
$\left\{ \begin{array}{rcl} &c_{1}J_{m}(\alpha a_{1})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{1})=0& \\ &c_{1}J_{m}(\alpha a_{2})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{2})=0& \\ \end{array} \right$

Как разрешить такую систему? Есть ли способ заменой избавиться от функций Неймана?

[svv]

PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):

$R(r)=c_{1}J_m(\alpha$r)+c_{2}Y_m(\alpha(r))$

Вынимаем лишний знак доллара из формулы, убираем лишние скобки:
$R(r)=c_{1}J_m(\alpha r)+c_{2}Y_m(\alpha r)$

PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):

$\left\{\begin{array}{rcl}&c_{1}J_{m}(\alpha a_{1})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{1})=0& \\&c_{1}J_{m}(\alpha a_{2})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{2})=0& \\\end{array}\right$
Как разрешить такую систему?

А относительно чего надо её решить? Ясное дело, относительно $c_1, c_2$. Но однородная система имеет нетривиальное решение не всегда, а только если определитель равен нулю. А уравнение
$J_m(\alpha a_1)Y_m(\alpha a_2)=Y_m(\alpha a_1)J_m(\alpha a_2)$
— это, при заданных $m$, $a_1$ и $a_2$, условие на «волновое число» $\alpha$. Решить его можно только численно, и для каждого $m$ оно имеет бесконечное множество решений $\alpha_{mn}$. Выбрав в качестве $\alpha$ одно из них, можно найти (с точностью до общего коэффициента) соответствующие $c_1$ и $c_2$.

PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):

Есть ли способ заменой избавиться от функций Неймана?

Нет. Чтобы охватить всё множество решений уравнения Бесселя для данного $m$, помимо $J_m(z)$ нужно второе независимое решение. Это может быть (по желанию) $Y_m, H^{(1)}_m, H^{(2)}_m$, и даже $J_{-m}$ при нецелых значениях порядка (но не при целых).