2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Колебания кольцевой мембраны
Сообщение25.05.2015, 11:59 


25/05/15
2
Где найти пример решенной задачи о колебаниях кольцевой мембраны

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания кольцевой мембраны
Сообщение25.05.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Было бы хорошо, если бы вы написали уравнение, описывающее процесс таких колебаний. Тогда можно было бы найти способ решения этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания кольцевой мембраны
Сообщение25.05.2015, 15:54 


25/05/15
2
Задача колебания мембраны сводится к следующему уравнению:
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2(\frac{\partial^2u}{\partialr r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\Theta^2})$
при:
$a_1 \leqslant r \leqslant a_2$
$0\leqslant\Theta\leqslant2\pi$

с граничными условиями: $u=0 при $r=a_{1}$
$u=0$ при $r=a_{2}$

решение ищем в виде: $u=R(r)\Theta(\theta)T(t)$

Тогда для радиальной компоненты получаем:
$R(r)=c_{1}J_m(\alpha$r)+c_{2}Y_m(\alpha(r))$
как решение уравнения Бесселя

применим граничные условия:
$\left\{
\begin{array}{rcl}
 &c_{1}J_{m}(\alpha a_{1})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{1})=0& \\
 &c_{1}J_{m}(\alpha a_{2})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{2})=0& \\
\end{array}
\right$

Как разрешить такую систему? Есть ли способ заменой избавиться от функций Неймана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колебания кольцевой мембраны
Сообщение25.05.2015, 22:49 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):
$R(r)=c_{1}J_m(\alpha$r)+c_{2}Y_m(\alpha(r))$
Вынимаем лишний знак доллара из формулы, убираем лишние скобки:
$R(r)=c_{1}J_m(\alpha r)+c_{2}Y_m(\alpha r)$
PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):
$\left\{\begin{array}{rcl}&c_{1}J_{m}(\alpha a_{1})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{1})=0& \\&c_{1}J_{m}(\alpha a_{2})+c_{2}Y_{m}(\alpha a_{2})=0& \\\end{array}\right$
Как разрешить такую систему?
А относительно чего надо её решить? Ясное дело, относительно $c_1, c_2$. Но однородная система имеет нетривиальное решение не всегда, а только если определитель равен нулю. А уравнение
$J_m(\alpha a_1)Y_m(\alpha a_2)=Y_m(\alpha a_1)J_m(\alpha a_2)$
— это, при заданных $m$, $a_1$ и $a_2$, условие на «волновое число» $\alpha$. Решить его можно только численно, и для каждого $m$ оно имеет бесконечное множество решений $\alpha_{mn}$. Выбрав в качестве $\alpha$ одно из них, можно найти (с точностью до общего коэффициента) соответствующие $c_1$ и $c_2$.
PeterUser в сообщении #1019413 писал(а):
Есть ли способ заменой избавиться от функций Неймана?
Нет. Чтобы охватить всё множество решений уравнения Бесселя для данного $m$, помимо $J_m(z)$ нужно второе независимое решение. Это может быть (по желанию) $Y_m, H^{(1)}_m, H^{(2)}_m$, и даже $J_{-m}$ при нецелых значениях порядка (но не при целых).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group