2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матричная норма
Сообщение24.05.2015, 06:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5915
Навеяно одной из недавних тем. Докажите, что не существует мультипликативной (т. е. $\|AB\|\le \|A\|\|B\|$) нормы на $\mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb C)$, такой, что для любой обратимой матрицы $P$ выполняется $\|A\|=\|PAP^{-1}\|$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная норма
Сообщение24.05.2015, 13:47 


10/02/11
6786
все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны: $\|A\|_\infty\ge c\|A\|=c\|PAP^{-1}\|\ge c'\|PAP^{-1}\|_\infty,\quad \|A\|_\infty=\max\{|a_{ij}|\}$

теперь берем $$A=\begin{pmatrix}
 0 &1 \\
  0 & 0  \\
 \end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}
 1 &0 \\
  0 & \gamma  \\
 \end{pmatrix}$$
что бы получить противоречие достаточно взять $\gamma>0$ достаточно малым. А в чем олимпиадность?

-- Вс май 24, 2015 13:54:05 --

к другой норме можно было и не переходить

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричная норма
Сообщение24.05.2015, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5915
Ну это скорее учебная задача. Да, слишком просто оказалось, моё решение было длиннее.

Oleg Zubelevich в сообщении #1019030 писал(а):
к другой норме можно было и не переходить


Да, у Вас получается $PAP^{-1}=\gamma^{-1}A$, откуда сразу всё выходит.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group