Матричная норма

[g______d]

Навеяно одной из недавних тем. Докажите, что не существует мультипликативной (т. е. $\|AB\|\le \|A\|\|B\|$) нормы на $\mathrm{Mat}_{n\times n}(\mathbb C)$, такой, что для любой обратимой матрицы $P$ выполняется $\|A\|=\|PAP^{-1}\|$.

[Oleg Zubelevich]

все нормы в конечномерном пространстве эквивалентны: $\|A\|_\infty\ge c\|A\|=c\|PAP^{-1}\|\ge c'\|PAP^{-1}\|_\infty,\quad \|A\|_\infty=\max\{|a_{ij}|\}$

теперь берем

$$A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & \gamma \\ \end{pmatrix}$$

что бы получить противоречие достаточно взять $\gamma>0$ достаточно малым. А в чем олимпиадность?

-- Вс май 24, 2015 13:54:05 --

к другой норме можно было и не переходить

[g______d]

Ну это скорее учебная задача. Да, слишком просто оказалось, моё решение было длиннее.

Oleg Zubelevich в сообщении #1019030 писал(а):

к другой норме можно было и не переходить

Да, у Вас получается $PAP^{-1}=\gamma^{-1}A$, откуда сразу всё выходит.