Вопрос о Работе

[specialist]

Обычно работа это интеграл по перемещению от силы.
$A=\int_{x_{1},x_{2},x_{3}}^{x_{1},x_{2},x_{3}}{F dx_{1}dx_{2}dx_{3}}$
Но в ото за перемещение отвечает интервал в 4 мерном пространстве, теперь если взять определение работы и вставить туда интервал, получится: что если я пройду метр и вернусь в исходное положение(назад на метр), то во времени, я уйду вперед аж на два события, то есть траектория моего перемещения не будет замкнута. Просто если пользоваться стандартной формулировкой работы, я должен получить энергию которую затратил на перемещение вперед, когда возвращаешься назад в тоже положение. Но организм не чувствует прилив энергии после 10 км туда и обратно.
Внимание вопрос: почему не ввели в использование 4 мерную работу или работу нельзя обобщать подставляя туда интервал из ОТО? (читаю мизнера-гравитация ни одного упоминания, энергия представлена проекцией четырехмерного импульса)?
Да и если не затруднит, не могли бы подсказать литературу по дифформам, с большим количеством примеров, особенно геометрических (совсем непонятны картинки мизнера с расслоениями.
(читаю ефимова н.в. введение в теорию внешних форм, примеров кот наплакал, хотя книжка очень понятная, но в мизнере очень хочется разобраться))

[svv]

specialist в сообщении #1018908 писал(а):

обычно работа это интеграл по перемещению от силы.
$A=\int{F ds}$

Да. Только интеграл определённый, с пределами.

specialist в сообщении #1018908 писал(а):

но в ото за перемещение отвечает касательный вектор в 4 мерном пространстве
теперь если взять определение работы и вставить туда перемещение в 4 мерном пространстве, получится: что если я пройду метр и вернусь в исходное положение(назад метр) во времени то я уйду вперед аж на два события, (то есть траектория то не будет замкнута) просто если пользоваться стандартной формулировкой работы, я должен получить энергию которую затратил на перемещение вперед, но организм не чувствует прилив энергии после 10 км туда и обратно.
Внимание вопрос: почему не ввели в использование 4 мерную работу или тут используется закон сохранении энергии-импульса как в ото?

Тут очень много неточностей и неясностей.

specialist в сообщении #1018908 писал(а):

Да и если не затруднит, не могли бы подсказать литературу по дифформам, с большим количеством примеров, особенно геометрических (совсем непонятны картинки мизнера с расслоениями.

Очень жаль, потому что яснее и нагляднее МТУ (=Мизнер,Торн,Уилер) никто об этом не писал.

По поводу работы. Чем вообще мотивировано такое определение? Тем, что этот интеграл можно представить в виде изменения некоторой величины за время движения:
$\int\limits_{s_1}^{s_2}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\int\limits_{t_1}^{t_2}m\frac{d\mathbf v}{dt}\cdot \mathbf v\,dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}\left(\frac 1 2 m\mathbf v\cdot \mathbf v\right)dt=\frac{mv_2^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}$
Получается, что работа сил на участке пути равна изменению на нём величины $\frac{mv^2}{2}$ — кинетической энергии. Это и делает понятие полезным.

Попробуйте написать что-то аналогичное в четырёхмерном случае. Только не называйте это ОТО. Мы работаем в плоском пространстве Минковского специальной теории относительности.

[specialist]

То есть, почти за 50 лет никто не провел работу над ошибками издания МТУ? Дифформы же разработали математики, а не физики, откуда в МТУ картинки с раслоениями или это не они (пример фиг 2.4 стр 91 том 1)?
Тогда другой вопрос: как вы поняли МТУ, как разбирали каждую картинку, как решали задачки (чем пользовались во время решения, кроме МТУ и мозгов?)
И все таки, неужели математики не написали книг по дифформам с примерами? (ладно, я плохо ищу) Подскажите пожалуйста хорошие книжки.
Почему же почти все учебники по гравитации (тот же Фейнман, Владимиров), не используют теорию форм а обходятся тензорами?
По поводу работы, меня всегда интересовало, почему прогулявшись до 10 этажа и обратно, моя механическая работа равна нулю, хотя усталость присутствует), согласно определению: ($A=\iiint_{x_{1},x_{2},x_{3}}^{x_{1},x_{2},x_{3}} F(x) dx = 0$) (как не крути) это если перемещение трёхмерное, если подставить интервал в место перемещения, то в четырехмерном виде с использованием сигнатуры (-+++) будет выглядеть вроде так: ($A=\iiiint_{x_{1},x_{2},x_{3},-t_{1}}^{x_{1},x_{2},x_{3},-t_{2}} -F(x_{1},x_{2} , x_{3}, t) dx dy dz dt \ne 0 $) и траектория получается незамкнутой от первого этажа до десятого и обратно, ну и интеграл дальше берется любым способом, можно даже промоделировать в виссиме.
Поясните в чем я не прав, почему нельзя подставлять интервал в определение работы?

[Sicker]

ну да, скалярное произведение, ковектор на вектор

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
То, что Вы написали, прочитать невозможно. Пожалуйста, сделайте следующее:
1) расставьте все необходимые знаки препинания,
2) используйте разделение на абзацы,
3) по возможности избавьтесь от ситуаций, когда внутри одного вопросительного предложения в скобках содержится другое вопросительное.

После внесения исправлений сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

[Kirill_Sal]

specialist
Чтобы решать задачи из МТУ, ничего кроме мозгов и МТУ не нужно. Разве что желание.
И ошибок там нет, Вы просто невнимательно читали.
Насчет четырехмерной работы: не знаю, зачем это Вам понадобилось; определить можно, но оно не будет иметь того смысла, который имеет в классической механике (почему?).
В книге ЛЛ "Теория поля" есть всякие ф-лы для 4-х силы, потери 4-х импульса частицы на излучение и т.д., посмотрите их.

[Cos(x-pi/2)]

specialist

В МТУ всё хорошо написано, а Вам надо начать с работы по устранению ошибок в вашей формуле работы. Не беритесь за ОТО, пока не освоите формулы обычной классической механики. О вашей ошибке:

Сила это вектор $\vec{F},$ и бесконечно малое перемещение это вектор - это изменение $\vec{dr}$ радиус-вектора материальной точки, т.е. это отрезок траектории. Работа силы при таком перемещении равна скалярному произведению этих двух векторов:

$dA=\vec{F} \cdot \vec{dr} = F_x dx+F_ydy+F_zdz$ .

При произвольном перемещении материальной точки мы разбиваем её траекторию между заданным началом $\vec{r}_1$ и концом $\vec{r}_2$ на отрезки $\vec{dr}$ и суммируем указанные выше вклады в работу от всех отрезков - т.е. интегрируем по траектории:

$A=\int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2}\vec{F} \cdot \vec{dr} = \int\limits_{\vec{r}_1}^{\vec{r}_2} (F_x dx+F_ydy+F_zdz) $.

Т.е. интеграл здесь берётся не по объёму (не трёхкратный интеграл, как у Вас написано), а вдоль заданной линии.

В книгах чаще всего принято обозначать векторы жирными буквами. Такие обозначения применил выше svv; изучите внимательно его пост!

При бегании по этажам разные части вашего тела совершают ещё и работу против всяких сил трения, в костях, в мышцах. Силы трения не потенциальные: работа сил трения на замкнутом пути не обязана быть равна нулю. Учтите также, что Вы не материальная точка, а совокупность огромного количества точек, взаимодействующих друг с другом и с внешним миром; поэтому одна простая формула механики для одной материальной точки не сможет полностью объяснить происхождение "ощущения усталости". В общих чертах объяснение такое: энергия съеденного утром завтрака в результате беготни по 10 этажам переходит за счёт разных сил трения в кин. энергию хаотического (теплового) движения молекул вашего тела и окружающей среды; ведь вы потели, разогревались, колыхали воздух, портили пол и подошвы - вот от всего этого и усталость.

[specialist]

Теперь, я понял что получается ерунда, если подставлять интервал. Но в то что, вот так, человек не знающий диффгеометрии, теории тензоров, теории форм, не привыкший к 4 формулировкам, возьмёт и разберётся МТУ, без справочников... наверное такие люди есть, но я не из них. Так или иначе я инженер, а инженерам это не читают, а отправляют в библиотеку. А там я ни чего путного с примерами по дифформам не нашел. Если уж вы говорите что за 50 лет, не написали книжки с примерами по дифформам, то тогда я начну с начала:

На странице 90 том первый "Картина дифракции позволяет определить не только длину волн де Бройля, но и ту конфигурацию в пространстве, которую образуют поверхности равных целочисленных значений фазы 7,8,9... Эту конфигурацию поверхностей мы обозначим $\widetilde{k}$" - то есть 1 формой.
Почему именно фаза волны де Бройля 1 форма?
Можете написать как она выглядит в проекциях, а то там дальше скалярное произведение с вектором скорости, и очень интересно как получена разность фаз на длине вектора скорости.
И да, если 1 -форма поверхность, то как может быть скалярное произведение поверхности на скорость? или она вектор? кто она?

На странице 94 том первый "...плоские поверхности 1-формы $\widetilde{k}$ дают наилучшую линейную аппроксимацию кривых поверхностей дебройлевской волны частицы, а сама $\widetilde{k}$ является линейной функцией, которая наилучшим образом аппроксимирует дебройлевскую фазу вблизи точки $P_{0}$:
$\varphi(P)=\varphi(P_{0})+\langle \widetilde{k}, P-P_{0} \rangle+....$ члены высокого порядка.
Я понимаю что это ряд Тейлора, но как он получен, откуда это разложение по скалярным произведениям?
Ни где такой формулировки не встречал, как она получена?
Как выглядят члены более высокого порядка?

На странице 95 том первый фиг 2.7 сразу вопрос: для чего указана стрелка положительного направления 1 формы?

На странице 97 том первый: почему производная по направлению функции $f$ это скалярное произведение градиента функции $f$ на скорость?
извините что не на латексе, но не нашел символа частного дифференциала.

Будьте добры, отвечайте по подробнее, я не физик, но хочу знать.

[Kirill_Sal]

Лично я не знаю, как помочь Вам, если Вы не знаете, что такое производная по направлению и разложение в ряд Тейлора по многим переменным.
На самом деле все и даже это написано в МТУ, советую еще раз прочитать с 1 страницы до той, на которой Вы остановились.

[specialist]

Kirill_Sal в сообщении #1019143 писал(а):

Лично я не знаю, как помочь Вам, если Вы не знаете, что такое производная по направлению и разложение в ряд Тейлора по многим переменным.
На самом деле все и даже это написано в МТУ, советую еще раз прочитать с 1 страницы до той, на которой Вы остановились.

Ну так не пишите, разложение в ряд Тейлора по многим переменным я понимаю, я не понимаю как он приводится к виду со скалярными произведениями и дифформами в МТУ, если уж вы не можете пояснить, ну что тут поделаешь, попробуйте ответить на первые вопросы, они важнее.

[Cos(x-pi/2)]

specialist в сообщении #1019133 писал(а):

Эту конфигурацию поверхностей мы обозначим $\widetilde{k}$" - то есть 1 формой.
Почему именно фаза волны де Бройля 1 форма?

Своим невнимательным вопросом Вы противоречите тут же приведённой вами цитате из книги. В книге нигде не утверждается что фаза волны де Бройля это 1-форма!

Фаза это скалярное поле $\varphi(P),$ т.е. это функция, сопоставляющая каждой точке $P$ пространства то или иное число $\varphi.$ В книге речь идёт о том, что можно ввести в рассмотрение ещё и другой геометрический образ - совокупность поверхностей постоянного уровня, на каждой из которых фаза от точки к точке не меняется (а от поверхности к поверхности меняется). Тогда поле 1-формы $\mathbf{d} \varphi$ это, образно говоря, "стопка поверхностей" в окрестности той или иной точки $P.$

(для specialist)

В книге МТУ всё рассказано, но постепенно, на многих страницах, не "за раз". Надо лишь внимательно читать, думать, в том числе - обдумывать и перечитывать ранее прочитанное, проверять себя; и применять знания из мат. анализа и векторной алгебры - МТУ подразумевали, что читатель владеет стандартными вузовскими разделами высшей математики. (Имхо, у настоящего инженера подобный подход к задачам должен был бы уже войти в привычку).

Остальные перечисленные вами вопросы тоже порождены небрежным чтением (как книги МТУ, так, похоже, и обычных студенческих учебников; если Вы ещё не освоились с обычными понятиями "градиент", "вектор", "интеграл" (а ваши формулы с механической работой $A$ об этом красноречиво говорят), то за МТУ браться рано. Вряд ли на форуме найдётся поводырь, который будет днями и ночами вместо Вас делать необходимую мыслительную работу по разжёвыванию новых для Вас разделов математики и физики).

[specialist]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1019185 писал(а):

другой геометрический образ - совокупность поверхностей постоянного уровня, на каждой из которых фаза от точки к точке не меняется (а от поверхности к поверхности меняется).

это же эквипотенциальные поверхности, то есть слоеный пирог из них в окрестности точки это 1 форма или они это касательные поверхности к эквипотенциальным?

-- 25.05.2015, 01:05 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1019185 писал(а):

Тогда поле 1-формы $\mathbf{d} \varphi$ это, образно говоря, "стопка поверхностей" в окрестности той или иной точки $P.$

если 1 форма это стопка поверхностей, то как можно скалярно умножить поверхность на вектор? (страница 91)

-- 25.05.2015, 01:22 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1019185 писал(а):

1-формы $\mathbf{d} \varphi$ это, образно говоря, "стопка поверхностей" в окрестности той или иной точки $P.$

кстати говоря это стопка поверхностей чего? касательных в окрестности точки?
Вот вы такой внимательный, приведите пример третьего члена ряда тейлора

specialist в сообщении #1019133 писал(а):

:
$\varphi(P)=\varphi(P_{0})+\langle \widetilde{k}, P-P_{0} \rangle+....$ члены высокого порядка.

мне очень хочется увидеть, как он будет записан через 1-форму и скалярное произведение, конечно если вы знаете как записать.

[Cos(x-pi/2)]

specialist в сообщении #1019201 писал(а):

это же эквипотенциальные поверхности, то есть слоеный пирог из них в окрестности точки это 1 форма или они это касательные поверхности к эквипотенциальным?

В бесконечно малой окрестности это один чёрт.

specialist в сообщении #1019201 писал(а):

если 1 форма это стопка поверхностей, то как можно скалярно умножить поверхность на вектор? (страница 91)

Опять невнимательность, опять подменяете слова! Не поверхность умножить на вектор, а "проколоть" стопку поверхностей вектором - как это написано в книге; читайте подряд, медленно, без пропусков, и много раз, пока не дойдёт; если что-то сразу не понятно, то пробуйте читать дальше, возвращайтесь назад и снова вкуривайте - только так поймёте. (А я не в силах вместе с Вами заново штудировать все те три тома; я не жалел времени, изучал их однажды в молодости, а теперь уже других забот хватает. Вот, лишь ещё на один ваш вопрос для примера отвечу и всё, завязываю)

(ответ specialist-у на ещё один вопрос)

В качестве конкретного примера разберу ещё вот этот Ваш вопрос:

specialist в сообщении #1019133 писал(а):

На странице 97 том первый: почему производная по направлению функции $f$ это скалярное произведение градиента функции $f$ на скорость?

Ответ должен быть известен даже первокурснику. И вам тоже; ведь если Вы знаете, что представляет собой ряд Тейлора для функции нескольких переменных, то должны знать и такую формулу для приращения скалярного поля, верную в первом приближении по вектору $\vec{dr}=\overrightarrow{P_0P},$ (т.е. в приближении, где отброшены все члены более высоких порядков, содержащие высшие производные)

$\varphi (P) - \varphi (P_0)=d \varphi= \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi}{\partial z}dz$ .

Правая сторона явно имеет вид скалярного произведения вектора $\vec{dr},$ имеющего компоненты $dx, \, dy, \, dz,$ и вектора $\operatorname{grad} \varphi,$ компонетами которого служат частные производные поля $\varphi$ по координатам. Т.е.

$\varphi (P) - \varphi (P_0)=\operatorname{grad} \varphi \cdot \vec{dr}$ .

В книге МТУ это же самое приращение фазы записано в символическом виде

$\varphi(P) - \varphi(P_0) = \langle \widetilde{k}, P-P_{0} \rangle+....$ члены высокого порядка.

Пусть отрезку $\vec{dr}$ линии $P( \lambda)$ соответствует приращение $d \lambda$ параметра $\lambda,$ параметризующего точки данной линии. Разделим приведённое выше равенство на это $d \lambda.$ Получим скорость изменения функции $\varphi (P(\lambda))$ вдоль данной линии, т.е. получим производную по направлению данной линии в точке $P_0:$

$\dfrac {d \varphi}{d \lambda} = \operatorname{grad} \varphi \cdot \dfrac{\vec{dr}}{d\lambda} $,

т.е. получилось как раз скалярное произведение градиента функции $\varphi$ на скорость $\vec{v}=\frac{ \vec{dr}}{d \lambda}.$

Ну, вот примерно в том же духе надо разбирать и другие возникающие вопросы... Главное - проявлять внимание и вдумчивость; а при необходимости возвращаться и к стандартным студенческим учебникам по математике.

-- 25.05.2015, 00:50 --

specialist в сообщении #1019201 писал(а):

Вот вы такой внимательный, приведите пример третьего члена ряда тейлора ... мне очень хочется увидеть, как он будет записан через 1-форму и скалярное произведение, конечно если вы знаете как записать.

А он и не будет записан через 1-форму! Это Вы сами себе нафантазировали. В книге же такого утверждения нет; и по сути сего дела его нет.

(Все дальнейшие члены ряда Тейлора это свёртки высших производных скалярной функции $\varphi$ (их можно представить в виде ковариантных тензоров 2-го и более высоких рангов) с контравариантными тензорами таких же рангов, образованных произведениями компонентов вектора $\vec{dr}.$ Сами их выпишите, и не забудьте в них ещё факториальные числовые множители написать; завтра, если будет время, посмотрю ваш ответ, и при необходимости подправлю.)

[specialist]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1019209 писал(а):

Опять невнимательность, опять подменяете слова! Не поверхность умножить на вектор, а "проколоть" стопку поверхностей вектором - как это написано в книге; читайте подряд, медленно, без пропусков, и много раз, пока не дойдёт; если что-то сразу не понятно, то пробуйте читать дальше, возвращайтесь назад и снова вкуривайте - только так поймёте. (А я не в силах вместе с Вами заново штудировать все те три тома; я не жалел времени, изучал их однажды в молодости, а теперь уже других забот хватает. Вот, лишь ещё на один ваш вопрос для примера отвечу и всё, завязываю)

Вот возьмите и сами прочтите: у мизнера написано выражение (стр 91 том 1) $ \langle \widetilde{k}, v \rangle$ -скалярное произведение, где \widetilde{k} - 1-форма жирной буквой, v-вектор который прокалывает или пересекает (который ни как не связан с видом один формы).
Вот у меня и вопрос, как скалярно можно умножать 1-форму на вектор, она что? - число, вектор, тензор, поле, функция?
Если это линейная вещественная функция векторов где на выходе число, как пишет автор тогда под один формой он видит $ \langle \widetilde{k}, v \rangle$ это, но тогда вопрос:
\widetilde{k} -что это, если это не 1-форма, чей это вектор или число или что это?
Автор пишет что это 1-форма и составлена из поверхностей
Как осуществляется скалярное произведение 1-формы и вектора?
Как раскрыть это выражение $ \langle \widetilde{k}, v \rangle$ ?

-- 25.05.2015, 09:00 --

Кто нибудь ответьте:
Я не понимаю как раскрывается скалярное произведение $ \langle \widetilde{k}, v \rangle$ можете показать как оно раскрывается (в любой системе координат -какой хотите)?
Какой функциональный вид имеет $\widetilde{k}$ как его расписать?
все это со страницы 91 том 1.

чето мне подгорело:
Неужели на научном форуме так сложно ответить по делу, наука это вид деятельности направленный на получение объективной истинны, но тут стараются как будто её сокрыть, нет бы показать и разобрать, или на книжку натолкнуть, или ответить себе: к черту у меня нет времени и ничего не писать, но нет, мы будем тянуть кота за хвост.
P.S. для любителей перечитывать, я уже 7 год перечитываю эту книгу, и доходя до этих удалено форм, у меня возникают вопросы на которые я не могу ответить, и справочников у меня таких нет, и даже кмны,кфмны юургу не знают или не хотят отвечать (даже за деньги), или что то еще, какая-нибудь субъективная причина найдётся. И я пришел на этот форум, а тут также, только лица другие.
Ну натолкните на путную книгу по дифформам, чтоб формулировки были похожие на МТУ и доступные для инженера, а я МТУ расковыряю. и я отвяжусь.