Квантование поля

[Kirill_Sal]

Приравняли ряд Фурье разложению по бегущим волнам и нашли связь между коэффициентами.
Пусть кто-нибудь поопытнее объяснит, т.к. я не понимаю, что Вам не понятно.

[Sicker]

Kirill_Sal в сообщении #1019099 писал(а):

Приравняли ряд Фурье разложению по бегущим волнам

А разве ряд Фурье это не разложение по бегущим волнам?

[Kirill_Sal]

Вот так сразу - нет. По определению отождествлять их нельзя. Но существует очень простая связь, которая связывает разложение в ряд Фурье и по бегущим волнам (я ее приводил выше).

[kw_artem]

Sicker в сообщении #1019069 писал(а):

Они должны удовлетворять условию $a_{k}=a^{*}_{-k}$, тк векторный потенциал вещественен
А по каким $\vec{k}$ суммируем то???

Нет, условие $a_{k}=a^{*}_{-k}$ не накладывается и оно и не нужно, вещественность $\vec{A}$ обеспечивает запись каждого члена ряда (52.9) в форме "слагаемое + компл. сопр.".

Sicker в сообщении #1019016 писал(а):

И откуда взялось $A_k=a_k+a^{*}_{-k}$?

Получается из сравнения. В первом разложении коэфф $A_k$ стоит перед экспонентой $\exp(+i\vec{k}\vec{r})$. Во втором разложении каждый член ряда есть сумма двух слагаемых, в которые экспонента входит с разными знаками по вектору $\vec{k}$. Для сравнения коэффициентов нам нужно выцарапать именно те слагаемые, у которых в экспоненте $\vec{k}$ с плюсом. Именно, в $\vec{k}$-ом члене второго ряда:

$$a_k e^{+i\vec{k}\vec{r}} + a^{*}_k e^{-i\vec{k}\vec{r}},$$

это первое слагаемое. Но из формы записи этого ряда видно, что та же самая экспонента $\exp(+i\vec{k}\vec{r})$ будет и в $(-\vec{k})$-ом члене, который сам представится как:

$$a_{-k} e^{-i\vec{k}\vec{r}} + a^{*}_{-k} e^{+i\vec{k}\vec{r}}.$$

Отсюда берем второе слагаемое. И получаем: $A_k=a_k+a^{*}_{-k}$.
Сразу становится понятно, что суммирование по составляющим $\vec{k}$ здесь (52.9) такое же, как и в первом, т.е. по всем дискретным значениям (52.2), в том числе и "отрицательным"

[Kirill_Sal]

kw_artem
Если раскладываем по ф-ле:

$\vec{A}=\sum{\vec{a_{k}}\exp(i\vec{k}\vec{r})+\vec{a_{-k}}\exp(-i\vec{k}\vec{r})}$,

то условие $\vec{a_{-k}}=\vec{a_{k}^{*}}$ нужно, конечно.

Просто ЛЛ сразу написали $\vec{a_{k}^{*}}$ во втором слагаемом.

[kw_artem]

Kirill_Sal
Ну да, можно и так разложить. Зачем тогда в ЛЛ проходили через все эти промежуточные выкладки (связи коэффициентов), ведь таким условием мы из нового разложения получаем удвоенное первоначальное (52.1) и коэффициенты $a_k$ переходят в старые $A_k$?

-- 24.05.2015, 19:35 --

Кстати, из тех соотношений для $\dot{A}_k$ получается ноль. Страннота...

[Kirill_Sal]

Вопроса не понял, но ноль там никак не получается. Там будет разность коэффициентов

[Sicker]

Ну вот, получаем из нового удвоенное первоначальное старое. И причем коэффициенты $a_{k}$ определяются неоднозначно, тк $A_{k}$ определяются однозначно, а $A_{k}=a_{k}+a^{*}_{-k}$, те их сумма определяется однозначно, а сами они нет

[Cos(x-pi/2)]

Sicker
Kirill_Sal

Вы, имхо, упускаете из внимания тот факт, что два "коэффициента" разложения в формуле ЛЛ-2 (52,9) под знаком суммы по волновому вектору это две линейно независимые функции времени. А именно: это функции типа

$e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t}$ и $e^{+i \omega_{\mathbf{k}} t}$, где

$\omega_{\mathbf{k}}=\omega_{-\mathbf{k}}=c\,| \mathbf{k} |$ есть положительная четная функция волнового вектора.

Важно, что поле $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$ удовлетворяет дифф. ур-ю второго порядка по времени, и поэтому его частные решения должны выражаться через две линейно независимые функции времени - так называемые "положительно-частотную" функцию $e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t}$ и "отрицательно-частотную" функцию $e^{+i \omega_{\mathbf{k}} t}.$

Так что, формула (52,9) изображает именно разбивку поля на две такие части - с частотностью определённого знака, со всеми возможными волновыми векторами. Суммирование там ведётся по всем возможным волновым векторам $\mathbf{k}$ (никаких "положительных" и "отрицательных" волновых векторов нигде там не подразумевается). Попробую пояснить это немного по-другому.

Давайте исходить из того, что поле $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)$ есть решение однородного волнового уравнения, а линейно независимые частные решения волнового уравнения имеют вид (это элементарно проверяется)

$e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ ,

$e^{i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$

со всеми возможными значениями компонент волнового вектора $\mathbf{k}.$


Тогда самое общее решение (пока ещё комплексное) запишется в виде суммы всех таких частных решений с произвольными постоянными коэффициентами $\mathbf{b}_{\mathbf{k}}$ и $\mathbf{c}_{\mathbf{k}},$ никак не связанными друг с другом:

$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)= \sum_{\mathbf{k}}\mathbf{b}_{\mathbf{k}}e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\sum_{\mathbf{k}}\mathbf{c}_{\mathbf{k}}e^{i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ .

Теперь будем налагать условие вещественности на поле $\mathbf{A}(\mathbf{r},t),$ а для удобства произведём "замену переменной интегрирования" во второй сумме - переобозначим во всех членах второй суммы вектор $\mathbf{k}$ как $-\mathbf{k}$ (притом учтем, что частота есть четная функция волнового вектора, т.е. знак индекса у частоты можно не менять). Подчеркну, что теперь суммируются всё-равно все те же члены, что раньше, только в другой последовательности; волновой вектор $\mathbf{k}$ в обоих суммах по-прежнему пробегает все свои возможные значения:

$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)= \sum_{\mathbf{k}}\mathbf{b}_{\mathbf{k}}e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\sum_{\mathbf{k}}\mathbf{c}_{-\mathbf{k}}e^{i \omega_{\mathbf{k}} t-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}$ .

Очевидно, что при такой записи обе экспоненты под знаками сумм будут при одном и том же $\mathbf{k}$ комплексно сопряжены друг другу, поэтому условие вещественности $\mathbf{A}(\mathbf{r},t)=\mathbf{A}(\mathbf{r},t)^*$ сводится к равенствам

$\mathbf{c}_{-\mathbf{k}}=\mathbf{b}_{\mathbf{k}}^*$ .

Приняв эти равенства, и вынося знак суммы по волновому вектору за скобку, имеем:

$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)= \sum_{\mathbf{k}} (\mathbf{b}_{\mathbf{k}}e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t+i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\mathbf{b}_{\mathbf{k}}^*e^{i \omega_{\mathbf{k}} t-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}})$ .

Наконец, обозначив

$\mathbf{b}_{\mathbf{k}}e^{-i \omega_{\mathbf{k}} t}=\mathbf{a}_{\mathbf{k}}(t)$ , так что

$\mathbf{b}_{\mathbf{k}}^*e^{i \omega_{\mathbf{k}} t}=\mathbf{a}_{\mathbf{k}}(t)^*$ ,

получаем формулу ЛЛ-2 (52,9)

$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)= \sum_{\mathbf{k}} (\mathbf{a}_{\mathbf{k}}e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\mathbf{a}_{\mathbf{k}}^*e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}})$ .

Суммирование здесь как велось с самого начала, так и ведётся по всем возможным значениям волнового вектора.

[Kirill_Sal]

Cos(x-pi/2)
Согласен, про линейную независимость и 2-й порядок уравнения я забыл сказать.

[Cos(x-pi/2)]

Kirill_Sal, будьте внимательнее; ведь Вы ещё и ошиблись с формулой $\vec{a_{-k}}=\vec{a_{k}^{*}}$ - на самом деле этого равенства нигде не требуется.

[Sicker]

Cos(x-pi/2)
Спусибо, теперь все стало понятно, нам же помимо поля надо определить и его производные в начальный момент времени для его эволюции
Ох уж этот Ландау

[Cos(x-pi/2)]

:-)

[Cos(x-pi/2)]

Как обычно с опозданием опечатку заметил в последней формуле своего поста - знак не тот вписал в одну из экспонент; конечно же, надо вот так:

...получаем формулу ЛЛ-2 (52,9)

$\mathbf{A}(\mathbf{r},t)= \sum_{\mathbf{k}} (\mathbf{a}_{\mathbf{k}}e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}+\mathbf{a}_{\mathbf{k}}^*e^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}})$ .

[kw_artem]

Cos(x-pi/2), спасибо за подробные выкладки и объяснения! :)

-- 25.05.2015, 17:08 --

Есть еще один непонятный момент с формулами в ЛЛ. Там сразу же после того как получают соотношения $\mathbf{A_k=a_k+a^{*}_{-k}}$, их дифференцируют, используя пропорциональность $\mathbf{a_k}\sim e^{-i\omega_kt}$, и получают $\mathbf{\dot{A}_k}=-ick(\mathbf{a_k}-\mathbf{a^{*}_k})$. Неясно, почему во втором слагаемом индекс поменялся с $\mathbf{-k}$ на $\mathbf{k}$, хотя не должен. Похоже на опечатку, но вдруг они (авторы) намекают на $\mathbf{a_k=a_{-k}}$

-- 25.05.2015, 17:20 --

Кажется и действительно опечатка, не знаю как раньше не заметил, в формулах (52.13) при дифференцировании коэффициентов $\mathbf{a_k}$ по времени индексы сохраняются