SickerKirill_SalВы, имхо, упускаете из внимания тот факт, что два "коэффициента" разложения в формуле ЛЛ-2 (52,9) под знаком суммы по волновому вектору это две
линейно независимые функции времени. А именно: это функции типа

и

, где

есть положительная четная функция волнового вектора.
Важно, что поле

удовлетворяет дифф. ур-ю второго порядка по времени, и поэтому его частные решения должны выражаться через две линейно независимые функции времени - так называемые "положительно-частотную" функцию

и "отрицательно-частотную" функцию
Так что, формула (52,9) изображает именно разбивку поля на две такие части -
с частотностью определённого знака, со всеми возможными волновыми векторами. Суммирование там ведётся по всем возможным волновым векторам

(никаких "положительных" и "отрицательных" волновых векторов нигде там не подразумевается). Попробую пояснить это немного по-другому.
Давайте исходить из того, что поле

есть решение однородного волнового уравнения, а линейно независимые частные решения волнового уравнения имеют вид (это элементарно проверяется)

,
со всеми возможными значениями компонент волнового вектора

Тогда самое общее решение (пока ещё комплексное) запишется в виде суммы всех таких частных решений с произвольными постоянными коэффициентами

и

никак не связанными друг с другом:

.
Теперь будем налагать условие вещественности на поле

а для удобства произведём "замену переменной интегрирования" во второй сумме - переобозначим во всех членах второй суммы вектор

как

(притом учтем, что частота есть четная функция волнового вектора, т.е. знак индекса у частоты можно не менять). Подчеркну, что теперь суммируются всё-равно все те же члены, что раньше, только в другой последовательности; волновой вектор

в обоих суммах по-прежнему пробегает все свои возможные значения:

.
Очевидно, что при такой записи обе экспоненты под знаками сумм будут при одном и том же

комплексно сопряжены друг другу, поэтому условие вещественности

сводится к равенствам

.
Приняв эти равенства, и вынося знак суммы по волновому вектору за скобку, имеем:

.
Наконец, обозначив

, так что

,
получаем формулу ЛЛ-2 (52,9)

.
Суммирование здесь как велось с самого начала, так и ведётся по всем возможным значениям волнового вектора.