Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)

[kp9r4d]

Пусть $E \subset \mathbb{R}^d$ - ограниченное множество, и $F \subset \mathbb{R}^d$ - элементарное множество. Доказать, что $m^{*,(J)}(E) = m^{*,(J)}(E \cap F) + m^{*,(J)}(E \setminus F)$.

Множество $F$ называется элементарным, если оно является объединением конечного числа параллелепипедов, рёбра которых параллельны осям координат, возможно с некоторыми вырезанными гранями коразмерности $1$. (точное определение параллелепипеда приводить не буду - его и так все знают). $m^{*,(J)}$ - внешняя мера Жордана.

Из попыток решения: по предыдущим упражнениям я знаю, что внешняя мера любого множества совпадает с внешней мерой замыкания этого множества (не понятно как использовать это, правда). Вообще не очень понятно как подступится, стандартные приёмы используемые в других упражнениях тут не прокатывают (обычно потому, что в других упражнениях приходилось иметь дело с измеримыми множествами). И пугает ещё что утверждение названо именем какого-то человека, это может значить, что оно не такое уж тривиальное. Был бы благодарен за подсказку.

[takeover]

Покажите, что $m^{*,(J)}(E\backslash F) = m^{*,(J)}(E\backslash \text{int} F)$, а потом, что любая аппроксимация $E$ порождает аппроксимации для $E\backslash \text{int} F$ и $E\cup F$.

[kp9r4d]

takeover в сообщении #1018936 писал(а):

Покажите, что $m^{*,(J)}(E\backslash F) = m^{*,(J)}(E\backslash \text{int} F)$

Это-то очевидно более менее, любое покрытие кубами можно превратить в покрытие замкнутыми кубами.

takeover в сообщении #1018936 писал(а):

а потом, что любая аппроксимация $E$ порождает аппроксимации для $E\backslash \text{int} F$ и $E\cup F$.

Непонятно.

[takeover]

Как определяется у вас верная мера Жордана? Как инфимум мер описанных элементарных множеств? Ну и рассмотрите произвольное такое множество. И что можно сказать о этом равенстве, которое вам надо доказать, в таком случае.

[kp9r4d]

takeover в сообщении #1018943 писал(а):

Как определяется у вас верная мера Жордана? Как инфимум мер описанных элементарных множеств?

С точностью до замены слов "верная" на "внешняя". :3

takeover в сообщении #1018943 писал(а):

И что можно сказать о этом равенстве, которое вам надо доказать, в таком случае.

Не знаю. Могу сказать только, что $m^{*,(J)}(E) \leqslant m^{*,(J)}(E \cap F) + m^{*,(J)}(E \setminus F)$ и при том это неравенство не использует элементарность $F$.

-- 24.05.2015, 01:16 --

А, всё очевидно, спасибо.