2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)
Сообщение23.05.2015, 23:31 
Аватара пользователя
Пусть $E \subset \mathbb{R}^d$ - ограниченное множество, и $F \subset \mathbb{R}^d$ - элементарное множество. Доказать, что $m^{*,(J)}(E) = m^{*,(J)}(E \cap F) + m^{*,(J)}(E \setminus F)$.

Множество $F$ называется элементарным, если оно является объединением конечного числа параллелепипедов, рёбра которых параллельны осям координат, возможно с некоторыми вырезанными гранями коразмерности $1$. (точное определение параллелепипеда приводить не буду - его и так все знают). $m^{*,(J)}$ - внешняя мера Жордана.

Из попыток решения: по предыдущим упражнениям я знаю, что внешняя мера любого множества совпадает с внешней мерой замыкания этого множества (не понятно как использовать это, правда). Вообще не очень понятно как подступится, стандартные приёмы используемые в других упражнениях тут не прокатывают (обычно потому, что в других упражнениях приходилось иметь дело с измеримыми множествами). И пугает ещё что утверждение названо именем какого-то человека, это может значить, что оно не такое уж тривиальное. Был бы благодарен за подсказку.

 
 
 
 Re: Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)
Сообщение24.05.2015, 00:50 
Покажите, что $m^{*,(J)}(E\backslash F) = m^{*,(J)}(E\backslash \text{int} F)$, а потом, что любая аппроксимация $E$ порождает аппроксимации для $E\backslash \text{int} F$ и $E\cup F$.

 
 
 
 Re: Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)
Сообщение24.05.2015, 01:17 
Аватара пользователя
takeover в сообщении #1018936 писал(а):
Покажите, что $m^{*,(J)}(E\backslash F) = m^{*,(J)}(E\backslash \text{int} F)$

Это-то очевидно более менее, любое покрытие кубами можно превратить в покрытие замкнутыми кубами.
takeover в сообщении #1018936 писал(а):
а потом, что любая аппроксимация $E$ порождает аппроксимации для $E\backslash \text{int} F$ и $E\cup F$.

Непонятно.

 
 
 
 Re: Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)
Сообщение24.05.2015, 01:57 
Как определяется у вас верная мера Жордана? Как инфимум мер описанных элементарных множеств? Ну и рассмотрите произвольное такое множество. И что можно сказать о этом равенстве, которое вам надо доказать, в таком случае.

 
 
 
 Re: Caratheodory type property (Tao, "Measure theory" Ex 1.1.19)
Сообщение24.05.2015, 02:13 
Аватара пользователя
takeover в сообщении #1018943 писал(а):
Как определяется у вас верная мера Жордана? Как инфимум мер описанных элементарных множеств?

С точностью до замены слов "верная" на "внешняя". :3
takeover в сообщении #1018943 писал(а):
И что можно сказать о этом равенстве, которое вам надо доказать, в таком случае.

Не знаю. Могу сказать только, что $m^{*,(J)}(E) \leqslant m^{*,(J)}(E \cap F) + m^{*,(J)}(E \setminus F)$ и при том это неравенство не использует элементарность $F$.

-- 24.05.2015, 01:16 --

А, всё очевидно, спасибо.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group