Экстремум функции нескольких переменных

[freedom_of_heart]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.

Исследовать на локальные экстремумы функцию $z=x^2y^2$

Необходимое условие

$\left\{ \begin{array}{rcl} f'_x=2xy^2=0\\ f'_y=2yx^2=0 \\ \end{array} \right.$

Получаем точки $(a;0)$ и $(0;a)$

$H=\begin{vmatrix} 2y^2&4xy \\ 4xy&2x^2 & \\ \end{vmatrix}=-4x^2y^2$

Значит В точках $(a;0)$ и $(0;a)$ гессиан равен нулю. При этом $d^2z=0$. Как можно дальше исследовать?

[demolishka]

Посмотрите чему равно значение функции в этих точках и что будет происходить если задать точке приращение.

[Otta]

А непременно нужно так исследовать? Совершенно ясно, какой у функции минимум и из каких соображений. Ясно также, в каких точках он достигается. После этого ясно, строгий он или нет.

[freedom_of_heart]

demolishka в сообщении #1018918 писал(а):

Посмотрите чему равно значение функции в этих точках и что будет происходить если задать точке приращение.

Если дать любое приращение от точки $(0;0)$, то значение только увеличится, потому точка минимума. А как от точки $(a;0)$ дойти до этого. Если ведь дать приращение по $x$ равное $-a$, то тогда уменьшится. Тут несколько ситуаций есть.

Я так понимаю, что тут стандартным образом не исследовать (по схеме через достаточные и необходимые условия). Это просто нестандартная ситуация такая?

Только ведь в точке $(0;0)$ будет глобальный минимум, а не локальный или нет?

[Otta]

Никто не может запретить глобальному минимуму быть локальным. Если на всей области определения выполнено некое нужное здесь неравенство, то тем более и в некоторой окрестности точки экстремума выполнено оно же.

freedom_of_heart в сообщении #1018924 писал(а):

Если дать любое приращение от точки $(0;0)$, то значение только увеличится, потому точка минимума. А как от точки $(a;0)$ дойти до этого. Если ведь дать приращение по $x$ равное $-a$, то тогда уменьшится. Тут несколько ситуаций есть.

Вы не могли бы привести примеры этих ситуаций для наглядности?