2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Экстремум функции нескольких переменных
Сообщение23.05.2015, 23:28 
Аватара пользователя
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей.

Исследовать на локальные экстремумы функцию $z=x^2y^2$

Необходимое условие

$\left\{
\begin{array}{rcl}
 f'_x=2xy^2=0\\
 f'_y=2yx^2=0 \\
\end{array}
\right.$

Получаем точки $(a;0)$ и $(0;a)$

$H=\begin{vmatrix}
 2y^2&4xy \\
 4xy&2x^2  & \\
\end{vmatrix}=-4x^2y^2$

Значит В точках $(a;0)$ и $(0;a)$ гессиан равен нулю. При этом $d^2z=0$. Как можно дальше исследовать?

 
 
 
 Re: Экстремум функции нескольких переменных
Сообщение23.05.2015, 23:34 
Аватара пользователя
Посмотрите чему равно значение функции в этих точках и что будет происходить если задать точке приращение.

 
 
 
 Re: Экстремум функции нескольких переменных
Сообщение23.05.2015, 23:35 
А непременно нужно так исследовать? Совершенно ясно, какой у функции минимум и из каких соображений. Ясно также, в каких точках он достигается. После этого ясно, строгий он или нет.

 
 
 
 Re: Экстремум функции нескольких переменных
Сообщение24.05.2015, 00:04 
Аватара пользователя
demolishka в сообщении #1018918 писал(а):
Посмотрите чему равно значение функции в этих точках и что будет происходить если задать точке приращение.


Если дать любое приращение от точки $(0;0)$, то значение только увеличится, потому точка минимума. А как от точки $(a;0)$ дойти до этого. Если ведь дать приращение по $x$ равное $-a$, то тогда уменьшится. Тут несколько ситуаций есть.

Я так понимаю, что тут стандартным образом не исследовать (по схеме через достаточные и необходимые условия). Это просто нестандартная ситуация такая?

Только ведь в точке $(0;0)$ будет глобальный минимум, а не локальный или нет?

 
 
 
 Re: Экстремум функции нескольких переменных
Сообщение24.05.2015, 00:10 
Никто не может запретить глобальному минимуму быть локальным. Если на всей области определения выполнено некое нужное здесь неравенство, то тем более и в некоторой окрестности точки экстремума выполнено оно же.

freedom_of_heart в сообщении #1018924 писал(а):
Если дать любое приращение от точки $(0;0)$, то значение только увеличится, потому точка минимума. А как от точки $(a;0)$ дойти до этого. Если ведь дать приращение по $x$ равное $-a$, то тогда уменьшится. Тут несколько ситуаций есть.

Вы не могли бы привести примеры этих ситуаций для наглядности?

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group