Интеграл с параметром

[freedom_of_heart]

Задача такая: Вычислить интеграл $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx$ при $b>-1$

Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Тогда $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}db\right) dx=$

$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}dx\right) db$

Вычислим $\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$.

При $b=0$ исходный интеграл равен нулю. При $b\ne 0$

$\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{b^2\sin^4x-1+1}{1+b\sin^2x}dx=$

$=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int(b\sin^2x-1)dx+\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx$

Вычислим интегралы отдельно:

$\displaystyle\int(b\sin^2x-1)dx=\dfrac{b}{2}\displaystyle\int(1-\cos 2x)dx-\displaystyle\int 1dx=\dfrac{xb}{2}-\dfrac{b\sin(2x)}{4}-x+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx=[t=ctg x]=\displaystyle\int\dfrac{\frac{dt}{1+t^2}}{1+b\dfrac{1}{1+t^2}}=$

$$=\displaystyle\int\dfrac{dt}{1+b+t^2}=\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{t}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1=\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{\ctg x}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1$$

Тогда

$\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\(b\sin^2x-1)dx+\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx=$

$=\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{xb}{2}-\dfrac{b\sin(2x)}{4}-x+C\right)+\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{\ctg x}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1\right)$

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)$

Тогда исходный интеграл:

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

[demolishka]

freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):

Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Это правильно, остальное - бред. И не только потому что Вы забываете писать $dx$ под знаком интеграла, но еще и потому, что несобственный неопределенный интеграл это множество первообразных.

Для решения задачи вы должны ответить на три вопроса
1. Пусть $I(p) = \int\limits_a^bf(x,p)dx$. Правда ли, что $I'(p) = \int\limits_a^bf'_p(x,p)dx$?
2. Если последний интеграл(от производной) берется, то найти его.
3. Проинтегрировать результат пункта 2 по $p$ и найти константу путем подстановки некоторого значения в $I(p)$, для которого его легко сосчитать.

[NSKuber]

(Оффтоп)

demolishka в сообщении #1018757 писал(а):

несобственный интеграл это множество первообразных.

Несобственный ли имелся в виду?

[freedom_of_heart]

demolishka в сообщении #1018757 писал(а):

freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):

Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Это правильно, остальное - бред. И не только потому что Вы забываете писать $dx$ под знаком интеграла, но еще и потому, что несобственный неопределенный интеграл это множество первообразных.

Для решения задачи вы должны ответить на три вопроса
1. Пусть $I(p) = \int\limits_a^bf(x,p)dx$. Правда ли, что $I'(p) = \int\limits_a^bf'_p(x,p)dx$?
2. Если последний интеграл(от производной) берется, то найти его.
3. Проинтегрировать результат пункта 2 по $p$ и найти константу путем подстановки некоторого значения в $I(p)$, для которого его легко сосчитать.

Спасибо!

1. Да, правда, если частная производная $\dfrac{\partial f(x,p)}{\partial p}$ непрерывна (?? это под вопросом, действительно ли нужно) и $f(x,p)$ непрерывна.

2. Это я и делала, если вы читали.

3. Это я и делала, если вы читали.

[demolishka]

freedom_of_heart в сообщении #1018778 писал(а):

Да, правда, если частная производная $\dfrac{\partial f(x,p)}{\partial p}$ непрерывна (?? это под вопросом, действительно ли нужно)

Если вы дифференцируете под знаком интеграла и интересуетесь при этом легитимностью сего действия, то было бы странно думать, что это никак не зависит от дифференцируемости подынтегральной функции. Достаточным условием того, что $I'(p_0)=\int\limits_a^bf'_p(x,p_0)dx$ является непрерывная дифференцируемость функции $f(x,p)$ на $[a;b] \times (p_0-\delta;p_0+\delta)$ для некоторого $\delta>0$.

freedom_of_heart в сообщении #1018778 писал(а):

Это я и делала, если вы читали.

Вы сделали это настолько небрежно, что кроме как бредом это назвать нельзя. Например, вот это равенство

freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

[freedom_of_heart]

demolishka в сообщении #1018834 писал(а):

Вы сделали это настолько небрежно, что кроме как бредом это назвать нельзя. Например, вот это равенство

freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

Спасибо, да, здесь есть небрежность. Там лучше было назвать правую часть $I(b)$, найти константу, а только после этого приравнивать. А какие еще небрежности, кроме того, что забыты $dx$ и $dt$?
Но хотелось бы еще узнать помимо небрежностей -- идейно правильно или нет?

[demolishka]

freedom_of_heart в сообщении #1018913 писал(а):

Но хотелось бы еще узнать помимо небрежностей -- идейно правильно или нет?

Как должно быть идейно - уже было расписано по пунктам. А вычисление неопределенных интегралов вы можете проверить самостоятельно.