2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 12:40 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
Задача такая: Вычислить интеграл $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx$ при $b>-1$

Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Тогда $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}db\right) dx=$

$=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}dx\right) db$

Вычислим $\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$.

При $b=0$ исходный интеграл равен нулю. При $b\ne 0$

$\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{b^2\sin^4x-1+1}{1+b\sin^2x}dx=$

$=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int(b\sin^2x-1)dx+\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx$

Вычислим интегралы отдельно:

$\displaystyle\int(b\sin^2x-1)dx=\dfrac{b}{2}\displaystyle\int(1-\cos 2x)dx-\displaystyle\int 1dx=\dfrac{xb}{2}-\dfrac{b\sin(2x)}{4}-x+C$

$\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx=[t=ctg x]=\displaystyle\int\dfrac{\frac{dt}{1+t^2}}{1+b\dfrac{1}{1+t^2}}=$

$$=\displaystyle\int\dfrac{dt}{1+b+t^2}=\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{t}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1=\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{\ctg x}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1$$

Тогда

$\displaystyle\int\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\(b\sin^2x-1)dx+\dfrac{1}{b^2}\displaystyle\int\dfrac{1}{1+b\sin^2x}dx=$

$=\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{xb}{2}-\dfrac{b\sin(2x)}{4}-x+C\right)+\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\arctg\left(\dfrac{\ctg x}{\sqrt{b+1}}\right)+C_1\right)$

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}=\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)$

Тогда исходный интеграл:

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):
Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Это правильно, остальное - бред. И не только потому что Вы забываете писать $dx$ под знаком интеграла, но еще и потому, что несобственный неопределенный интеграл это множество первообразных.

Для решения задачи вы должны ответить на три вопроса
1. Пусть $I(p) = \int\limits_a^bf(x,p)dx$. Правда ли, что $I'(p) = \int\limits_a^bf'_p(x,p)dx$?
2. Если последний интеграл(от производной) берется, то найти его.
3. Проинтегрировать результат пункта 2 по $p$ и найти константу путем подстановки некоторого значения в $I(p)$, для которого его легко сосчитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 13:45 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск

(Оффтоп)

demolishka в сообщении #1018757 писал(а):
несобственный интеграл это множество первообразных.

Несобственный ли имелся в виду? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 14:15 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
demolishka в сообщении #1018757 писал(а):
freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):
Правильно ли я делаю?

$f(x,b)=\sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)$ непрерывна на $[0;\frac{\pi}{2}]$ и $b>-1$

$f'_b=\dfrac{\sin^4x}{1+b\sin^2x}$

Это правильно, остальное - бред. И не только потому что Вы забываете писать $dx$ под знаком интеграла, но еще и потому, что несобственный неопределенный интеграл это множество первообразных.

Для решения задачи вы должны ответить на три вопроса
1. Пусть $I(p) = \int\limits_a^bf(x,p)dx$. Правда ли, что $I'(p) = \int\limits_a^bf'_p(x,p)dx$?
2. Если последний интеграл(от производной) берется, то найти его.
3. Проинтегрировать результат пункта 2 по $p$ и найти константу путем подстановки некоторого значения в $I(p)$, для которого его легко сосчитать.


Спасибо!

1. Да, правда, если частная производная $\dfrac{\partial f(x,p)}{\partial p}$ непрерывна (?? это под вопросом, действительно ли нужно) и $f(x,p)$ непрерывна.

2. Это я и делала, если вы читали.

3. Это я и делала, если вы читали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
freedom_of_heart в сообщении #1018778 писал(а):
Да, правда, если частная производная $\dfrac{\partial f(x,p)}{\partial p}$ непрерывна (?? это под вопросом, действительно ли нужно)

Если вы дифференцируете под знаком интеграла и интересуетесь при этом легитимностью сего действия, то было бы странно думать, что это никак не зависит от дифференцируемости подынтегральной функции. Достаточным условием того, что $I'(p_0)=\int\limits_a^bf'_p(x,p_0)dx$ является непрерывная дифференцируемость функции $f(x,p)$ на $[a;b] \times (p_0-\delta;p_0+\delta)$ для некоторого $\delta>0$.
freedom_of_heart в сообщении #1018778 писал(а):
Это я и делала, если вы читали.

Вы сделали это настолько небрежно, что кроме как бредом это назвать нельзя. Например, вот это равенство
freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 23:05 
Аватара пользователя


30/05/11
205
СПб
demolishka в сообщении #1018834 писал(а):
Вы сделали это настолько небрежно, что кроме как бредом это назвать нельзя. Например, вот это равенство
freedom_of_heart в сообщении #1018748 писал(а):
$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2x\cdot \ln(1+b\sin^2x)dx=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{\pi b}{2}-\dfrac{\pi}{2}\right)-\dfrac{1}{b^2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+1}}\dfrac{\pi}{2}\right)\right)db$

Спасибо, да, здесь есть небрежность. Там лучше было назвать правую часть $I(b)$, найти константу, а только после этого приравнивать. А какие еще небрежности, кроме того, что забыты $dx$ и $dt$?
Но хотелось бы еще узнать помимо небрежностей -- идейно правильно или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение23.05.2015, 23:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
freedom_of_heart в сообщении #1018913 писал(а):
Но хотелось бы еще узнать помимо небрежностей -- идейно правильно или нет?

Как должно быть идейно - уже было расписано по пунктам. А вычисление неопределенных интегралов вы можете проверить самостоятельно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group