2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 20:07 


15/05/15

25
Подскажите, пожалуйста, как найти норму.
Требуется найти норму оператора $A[x](t)=x(t^{1/6})$ в $L_2[0,1]$.
Пусть $\|x\|\leqslant 1$, тогда $$\|Ax\|=\left(\int\limits_0^1 |x(t^{1/6})|^2dt\right)^{1/2}=\left(\int\limits_0^1 6|x(t)|^2t^5dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\left(\int\limits_0^1|x(t)|^2dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\|x\|\leqslant\sqrt6.$$
Мне кажется это сильно грубая оценка. Впрочем и найти функцию в единичном шаре, такую что бы норма её образа равнялась корню из шести проблематично. Я предполагаю, что конкретно в этом случае $\|Ax\|=\|x\|$. Но это как-то странно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
При каких $x(t)$ интегралы от $|x(t)|^2 t^5$ и $|x(t)|^2$ будут похожи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Оценка $\sqrt{6}$ точная (хотя и не достигается). Рассмотрите $x(t)=\left\{\begin{aligned}&0 && 0<t<1-\delta,\\&1 &&1-\delta<t<1\end{aligned}\right.$ с $\delta\to +0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 20:57 


15/05/15

25
demolishka в сообщении #1018464 писал(а):
При каких $x(t)$ интегралы от $|x(t)|^2 t^5$ и $|x(t)|^2$ будут похожи?

Вот это я понять и не могу.

Red_Herring в сообщении #1018465 писал(а):
Рассмотрите $x(t)=\left\{\begin{aligned}&0 && 0<t<1-\delta,\\&1 &&1-\delta<t<1\end{aligned}\right.$ с $\delta\to +0$.


Тогда $x(t^{1/6})=\begin{cases}0,\ 0<t<(1-\delta)^6\\ 1, (1-\delta)^6 < t < 1.\ \end{cases}$
$$ \|Ax\|=\left(\int\limits_0^1 |x(t^{1/6})|^2dt\right)^{1/2}=\int\limits_{(1-\delta)^6}^1 1dt=1-(1-\delta)^6\rightarrow 0,\ \delta\rightarrow 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 21:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
А как насчет $\|x\|$ и отношения этих норм?
Tulse_Luper в сообщении #1018480 писал(а):
Вот это я понять и не могу.

Это то же самое, что я указал: чтобы максимизировать $\|Ax\|/\|x\|$ мы берем $x(t)$ сосредоточенную на интервале, где $6t^5$ максимально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 22:34 


15/05/15

25
Что-то меня переклинило, что нужно искать последовательность функций в единичном шаре, последовательность норм образов которых стремится к $\sqrt6$. Ещё и корень потерял...

А так да. $\|Ax\|/\|x\|=\left(\frac{1-(1-\delta)^6}{\delta}\right)^{1/2}\rightarrow\sqrt6,\ \delta\rightarrow0$
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение22.05.2015, 22:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tulse_Luper, неужели Вам не рассказывали про норму функционалов в $L_1$?... Не в $L_2$, а именно в $L_1$. А ведь Ваше самое первое неравенство (точнее, самое второе) в самом первом Вашем посте -- оно ровно об этом.

(обычно гильбертовы пространства подают всё-таки после банаховых вообще и линейных функционалов в них в частности)

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение23.05.2015, 00:16 


15/05/15

25
В $L_1[a,b]$ функционал имеет вид $f(x)=\int\limits_a^bx(t)g(t)dt$, где $g\in L_\infty[a,b]$. Норма $\|f\|=\|g\|_{L_\infty}=ess \sup\limits|g(t)|$. Но не могу понять как неравенство относится к норме функционала в $L_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение23.05.2015, 00:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Tulse_Luper в сообщении #1018573 писал(а):
Но не могу понять как неравенство относится к норме функционала в $L_1$.

Было:

Tulse_Luper в сообщении #1018461 писал(а):
$$\left(\int\limits_0^1 6|x(t)|^2t^5dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\left(\int\limits_0^1|x(t)|^2dt\right)^{1/2}$$

И была проблема: насколько эта оценка является точной?

Но ведь это же ровно (после сброса квадратных корней) вопрос о том, насколько точной является оценка $\int fg\,dx\leqslant\max g\cdot\int f\,dx$ (при фиксированной $g$ и произвольных $f$), где $f=|x(t)|^2$ и $g=6t^5$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Норма оператора в L_2
Сообщение23.05.2015, 13:07 


15/05/15

25
Спасибо. Похоже, что понял принцип. Например если дан оператор
$A[x](t)=e^{-t}x(\sqrt{t})$ в $L_2[0,1]$.
$$\|x\|\leqslant 1\Rightarrow \|Ax\|=\left(\int\limits_0^1
e^{-2t}|x(\sqrt{t})|^2dt\right)^{1/2}=\left(\int\limits_0^1
2te^{-2t^2}|x(t)|^2dt\right)^{1/2}\leqslant\left(\int\limits_0^1\max\limits_{t\in[0,1]}(2te^{-2t^2})|x(t)|^2dt\right)^{1/2}$$
$$\left(\int\limits_0^1\max\limits_{t\in[0,1]}(2te^{-2t^2})|x(t)|^2dt\right)^{1/2}=2^{1/4}e^{-1/2}\|x\|\leqslant2^{1/4}e^{-1/2}.$$
Строим функции: $$x_\varepsilon(t)=\begin{cases}1,\
t\in(1/\sqrt{2}-\varepsilon,1/\sqrt{2}+\varepsilon)\\0,\
t\in[0,1]\setminus(1/\sqrt{2}-\varepsilon,1/\sqrt{2}+\varepsilon)\end{cases}\Rightarrow\
x_\varepsilon(\sqrt{t})=\begin{cases}1,\
t\in((1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2,(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2)\\0,\
t\in[0,1]\setminus((1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2,(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2)\end{cases}.$$
$$\|Ax_\varepsilon\|^2=\int\limits_{(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}^{(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2}
e^{-2t}dt=1/2(e^{-2(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}-e^{-2(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2}).$$
$$\frac{\|Ax_\varepsilon\|^2}{\|x_\varepsilon\|^2}=1/(4\varepsilon)(e^{-2(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}-e^{-2(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2})=e^{-2(1/2+\varepsilon^2)}2\sh(2\sqrt{2}\varepsilon)/4\varepsilon\rightarrow
2^{1/2}e^{-1},\varepsilon\rightarrow 0.$$
$\|A\|=2^{1/4}e^{-1/2}$.

Думаю, можно вывести формулу для поиска нормы в похожих случаях.
Пусть $A[x](t)=\phi(t)x(p(t))$ оператор в $L_2[a,b]$, где $\phi\in C[a,b]$, а $p$ - непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, т.ч. $p([a,b])=[a,b]$.
$$\|Ax\|^2=\int\limits_a^b
|\phi(t)|^2|x(p(t))|^2dt=\int\limits_a^b|\phi(p^{-1}(t))|^2|x(t)|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)dt\leqslant\max\limits_{t\in[a,b]}|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\int\limits_a^b|x(t)|^2dt=$$
$$=\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)\|x\|^2.$$
$$|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\in C[a,b]
\Rightarrow\exists
t_0\in[a,b]:\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)=|\phi(p^{-1}(t_0))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t_0).$$
$$x_\varepsilon(t)=\begin{cases}1,\
t\in(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\\0,\
t\in[0,1]\setminus(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\end{cases}.$$
Используя интегральную теорему о среднем, получаем.
$$\frac{\|Ax_\varepsilon\|^2}{\|x_\varepsilon\|^2}=\frac{1}{2\varepsilon}\int\limits_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)dt\rightarrow |\phi(p^{-1}(t_0))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t_0),\ \varepsilon\rightarrow 0.$$
$$\|A\|=\left(\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)\right)^{1/2}$$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group