Норма оператора в L_2

[Tulse_Luper]

Подскажите, пожалуйста, как найти норму.
Требуется найти норму оператора $A[x](t)=x(t^{1/6})$ в $L_2[0,1]$.
Пусть $\|x\|\leqslant 1$, тогда

$$\|Ax\|=\left(\int\limits_0^1 |x(t^{1/6})|^2dt\right)^{1/2}=\left(\int\limits_0^1 6|x(t)|^2t^5dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\left(\int\limits_0^1|x(t)|^2dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\|x\|\leqslant\sqrt6.$$

Мне кажется это сильно грубая оценка. Впрочем и найти функцию в единичном шаре, такую что бы норма её образа равнялась корню из шести проблематично. Я предполагаю, что конкретно в этом случае $\|Ax\|=\|x\|$. Но это как-то странно.

[demolishka]

При каких $x(t)$ интегралы от $|x(t)|^2 t^5$ и $|x(t)|^2$ будут похожи?

[Red_Herring]

Оценка $\sqrt{6}$ точная (хотя и не достигается). Рассмотрите $x(t)=\left\{\begin{aligned}&0 && 0<t<1-\delta,\\&1 &&1-\delta<t<1\end{aligned}\right.$ с $\delta\to +0$.

[Tulse_Luper]

demolishka в сообщении #1018464 писал(а):

При каких $x(t)$ интегралы от $|x(t)|^2 t^5$ и $|x(t)|^2$ будут похожи?

Вот это я понять и не могу.

Red_Herring в сообщении #1018465 писал(а):

Рассмотрите $x(t)=\left\{\begin{aligned}&0 && 0<t<1-\delta,\\&1 &&1-\delta<t<1\end{aligned}\right.$ с $\delta\to +0$.

Тогда $x(t^{1/6})=\begin{cases}0,\ 0<t<(1-\delta)^6\\ 1, (1-\delta)^6 < t < 1.\ \end{cases}$

$$ \|Ax\|=\left(\int\limits_0^1 |x(t^{1/6})|^2dt\right)^{1/2}=\int\limits_{(1-\delta)^6}^1 1dt=1-(1-\delta)^6\rightarrow 0,\ \delta\rightarrow 0$$

[Red_Herring]

А как насчет $\|x\|$ и отношения этих норм?

Tulse_Luper в сообщении #1018480 писал(а):

Вот это я понять и не могу.

Это то же самое, что я указал: чтобы максимизировать $\|Ax\|/\|x\|$ мы берем $x(t)$ сосредоточенную на интервале, где $6t^5$ максимально.

[Tulse_Luper]

Что-то меня переклинило, что нужно искать последовательность функций в единичном шаре, последовательность норм образов которых стремится к $\sqrt6$. Ещё и корень потерял...

А так да. $\|Ax\|/\|x\|=\left(\frac{1-(1-\delta)^6}{\delta}\right)^{1/2}\rightarrow\sqrt6,\ \delta\rightarrow0$
Спасибо.

[ewert]

Tulse_Luper, неужели Вам не рассказывали про норму функционалов в $L_1$?... Не в $L_2$, а именно в $L_1$. А ведь Ваше самое первое неравенство (точнее, самое второе) в самом первом Вашем посте -- оно ровно об этом.

(обычно гильбертовы пространства подают всё-таки после банаховых вообще и линейных функционалов в них в частности)

[Tulse_Luper]

В $L_1[a,b]$ функционал имеет вид $f(x)=\int\limits_a^bx(t)g(t)dt$, где $g\in L_\infty[a,b]$. Норма $\|f\|=\|g\|_{L_\infty}=ess \sup\limits|g(t)|$. Но не могу понять как неравенство относится к норме функционала в $L_1$.

[ewert]

Tulse_Luper в сообщении #1018573 писал(а):

Но не могу понять как неравенство относится к норме функционала в $L_1$.

Было:

Tulse_Luper в сообщении #1018461 писал(а):

$$\left(\int\limits_0^1 6|x(t)|^2t^5dt\right)^{1/2}\leqslant\sqrt6\left(\int\limits_0^1|x(t)|^2dt\right)^{1/2}$$

И была проблема: насколько эта оценка является точной?

Но ведь это же ровно (после сброса квадратных корней) вопрос о том, насколько точной является оценка $\int fg\,dx\leqslant\max g\cdot\int f\,dx$ (при фиксированной $g$ и произвольных $f$), где $f=|x(t)|^2$ и $g=6t^5$.

[Tulse_Luper]

Спасибо. Похоже, что понял принцип. Например если дан оператор
$A[x](t)=e^{-t}x(\sqrt{t})$ в $L_2[0,1]$.

$$\|x\|\leqslant 1\Rightarrow \|Ax\|=\left(\int\limits_0^1 e^{-2t}|x(\sqrt{t})|^2dt\right)^{1/2}=\left(\int\limits_0^1 2te^{-2t^2}|x(t)|^2dt\right)^{1/2}\leqslant\left(\int\limits_0^1\max\limits_{t\in[0,1]}(2te^{-2t^2})|x(t)|^2dt\right)^{1/2}$$ $$\left(\int\limits_0^1\max\limits_{t\in[0,1]}(2te^{-2t^2})|x(t)|^2dt\right)^{1/2}=2^{1/4}e^{-1/2}\|x\|\leqslant2^{1/4}e^{-1/2}.$$

Строим функции:

$$x_\varepsilon(t)=\begin{cases}1,\ t\in(1/\sqrt{2}-\varepsilon,1/\sqrt{2}+\varepsilon)\\0,\ t\in[0,1]\setminus(1/\sqrt{2}-\varepsilon,1/\sqrt{2}+\varepsilon)\end{cases}\Rightarrow\ x_\varepsilon(\sqrt{t})=\begin{cases}1,\ t\in((1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2,(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2)\\0,\ t\in[0,1]\setminus((1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2,(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2)\end{cases}.$$

$$\|Ax_\varepsilon\|^2=\int\limits_{(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}^{(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2} e^{-2t}dt=1/2(e^{-2(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}-e^{-2(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2}).$$

$$\frac{\|Ax_\varepsilon\|^2}{\|x_\varepsilon\|^2}=1/(4\varepsilon)(e^{-2(1/\sqrt{2}-\varepsilon)^2}-e^{-2(1/\sqrt{2}+\varepsilon)^2})=e^{-2(1/2+\varepsilon^2)}2\sh(2\sqrt{2}\varepsilon)/4\varepsilon\rightarrow 2^{1/2}e^{-1},\varepsilon\rightarrow 0.$$

$\|A\|=2^{1/4}e^{-1/2}$.

Думаю, можно вывести формулу для поиска нормы в похожих случаях.
Пусть $A[x](t)=\phi(t)x(p(t))$ оператор в $L_2[a,b]$, где $\phi\in C[a,b]$, а $p$ - непрерывно дифференцируемая строго монотонная функция, т.ч. $p([a,b])=[a,b]$.

$$\|Ax\|^2=\int\limits_a^b |\phi(t)|^2|x(p(t))|^2dt=\int\limits_a^b|\phi(p^{-1}(t))|^2|x(t)|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)dt\leqslant\max\limits_{t\in[a,b]}|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\int\limits_a^b|x(t)|^2dt=$$

$$=\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)\|x\|^2.$$

$$|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\in C[a,b] \Rightarrow\exists t_0\in[a,b]:\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)=|\phi(p^{-1}(t_0))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t_0).$$

$$x_\varepsilon(t)=\begin{cases}1,\ t\in(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\\0,\ t\in[0,1]\setminus(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\end{cases}.$$

Используя интегральную теорему о среднем, получаем.

$$\frac{\|Ax_\varepsilon\|^2}{\|x_\varepsilon\|^2}=\frac{1}{2\varepsilon}\int\limits_{t_0-\varepsilon}^{t_0+\varepsilon}|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)dt\rightarrow |\phi(p^{-1}(t_0))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t_0),\ \varepsilon\rightarrow 0.$$

$$\|A\|=\left(\max\limits_{t\in[a,b]}\left(|\phi(p^{-1}(t))|^2\frac{dp^{-1}}{dt}(t)\right)\right)^{1/2}$$

.