Функции нескольких переменных

[Oleg_BM]

Пусть дано уравнение поверхности $F(x,y,z)=0$ (1), где $F(x,y,z)=4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6$(1)
1.
a) Написать систему уравнений, решениями которой являются те и только те тройки числе, являющиеся координатами точек поверхности с уравнением (1), в любой окрестности которых уравнение (1) не определяет $z$ как непрерывную функцию от $x$ и $y$.
b) Преобразовать систему в равносильную, в которой одно из уравненений есть уравнение цилиндра, с образующими, параллелельными оси $OZ$,
c) Выписать уравнение ортогональной проекции на плоскость $(xy)$ множества, обсуждаемого в этом пункте.

2.
а) Найти нижнюю и верхнюю грань значений $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ на поверхности $F*(x,y,z)=1$.
b) Написать разложение $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ по формуле Тейлора в каждой точке $M_k$, подозрительной на экстремум.
с) Пусть $g(x,y)$ -- сложная функция, которая получается, если в исследуемую на экстремум функцию подставить $z$, выраженное из уравнения поверхности, на которой считается экстремум. Не находя явного выражения $g(x,y)$ написать ее разложение в точке $L_k$б соответсвующих точкам $M_k:M_k\to L_k$ до членов, составляющий второй дифференциал включительно.
d) Сравнить пункты $b)$ u $c)$ и объяснить -- что они дают для решения задачи пункта $a)$.

Если говорить про 1.Пункт, то я изначально не понимаю -- как начать строить такую систему пункта а). Вроде как $F(x,y,z)$ непрерывна везде. Или я не прав?

Во втором пункте как делать пункты а) и b) понимаю очень хорошо, но вот как делать с) и d) не ясно. Выразить $z$ можно легко. Но как не находя явного выражения написать выражение -- не очевидно. Можете подсказать -- в чем тут фишка?

[Otta]

Oleg_BM в сообщении #1018574 писал(а):

. Вроде как $F(x,y,z)$ непрерывна везде.

Да, но речь не о ней.

Oleg_BM в сообщении #1018574 писал(а):

в любой окрестности которых уравнение (1) не определяет $z$ как непрерывную функцию от $x$ и $y$.

Выделено мной.
А как эта функция называется? Которая определена уравнением (1)? Вот соответствующие результаты и смотрите.

[mihailm]

Oleg_BM, в 1. потренируйтесь на окружности $x^2+y^2=1$ (2). Где точки этой окружности, в любой окрестности которых уравнение (2) не определяет $y$ как непрерывную функцию от $x$.

[Tosha]

Ой, не туда зашел

[Oleg_BM]

Otta в сообщении #1018589 писал(а):

Oleg_BM в сообщении #1018574 писал(а):

. Вроде как $F(x,y,z)$ непрерывна везде.

Да, но речь не о ней.

Oleg_BM в сообщении #1018574 писал(а):

в любой окрестности которых уравнение (1) не определяет $z$ как непрерывную функцию от $x$ и $y$.

Выделено мной.
А как эта функция называется? Которая определена уравнением (1)? Вот соответствующие результаты и смотрите.

Функция двух переменных. То есть нужно решить квадратное уравнение относительно $z$. И там где с дискриминантом проблемки или же где знаменатель ноль, там разрывы или функция не определена, верно? И в систему нужно впихнуть $F=0$, да?

-- 23.05.2015, 00:56 --

mihailm в сообщении #1018593 писал(а):

Oleg_BM, в 1. потренируйтесь на окружности $x^2+y^2=1$ (2). Где точки этой окружности, в любой окрестности которых уравнение (2) не определяет $y$ как непрерывную функцию от $x$.

Когда $|x|>1$. Верно?

[mihailm]

Oleg_BM, подправим условие, скажем так: какая-то "функция" есть, но не непрерывная. А у вас никакой нету.

[Oleg_BM]

mihailm в сообщении #1018631 писал(а):

Oleg_BM, подправим условие, скажем так: какая-то "функция" есть, но не непрерывная. А у вас никакой нету.

Вы о том, что нашлись $y$, которым соотвествуют несколько различных $x$, потому это не функция и в нашей задаче аналогично?

[mihailm]

Примерно

[Oleg_BM]

Спасибо! Попробую.

$4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6=0$

$3z^2-4(y-x)z +4x^2+2y^2-10x+4y+6=0$

$\dfrac{D}{4}=4(x-y)^2-12x^2-6y^2+30x-12y-18$

Тогда система должна быть такая?

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 4(x-y)^2-12x^2-6y^2+30x-12y-18>0 \\ 4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6=0 \\ \end{array} \right.$$

Верно?

В пункте $b$ нужно делать поворот и сдвиг, правильно ли я понимаю?

[mihailm]

Какие еще дискриминанты, вы что в школе учитесь? Смотрите на теорему о неявной функции

[Oleg_BM]

mihailm в сообщении #1018753 писал(а):

Какие еще дискриминанты, вы что в школе учитесь? Смотрите на теорему о неявной функции

Спасибо. Посмотрел. Я так понял, что нужно обратить внимание там на пункт про частную производную. То есть для существования неявной функции нужно, чтобы $F(x,y,z)$ была монотонна по $z$.

В нашем случае:

$F(x,y,z)=4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6$

$F'_z=6z+4x-4y$.

Так как нам как раз нужно нарушить монотонность, то система будет такая:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 6z+4x-4y=0 \\ 4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6=0 \\ \end{array} \right.$$

Правильно?

[mihailm]

Правильно, но тут есть некая тонкость, заключающаяся в том, что если производная не равна нулю, то функция есть, но в обратную сторону это не всегда верно. Наверно надо исследовать полученные точки на невыразмость однозначную)

[Oleg_BM]

mihailm в сообщении #1018798 писал(а):

Правильно, но тут есть некая тонкость, заключающаяся в том, что если производная не равна нулю, то функция есть, но в обратную сторону это не всегда верно. Наверно надо исследовать полученные точки на невыразмость однозначную)

Спасибо! А это как делается?

[Утундрий]

Oleg_BM в сообщении #1018811 писал(а):

А это как делается?

Ну вот, допустим неявно задано $F\left( {x,y} \right) = 0$, а мы хотим, чтобы было задано явно: $y = f\left( x \right)$. Так сперва, вместо чтоб кого-то там относительно другого разрешать, мы это всё возьмём и продифференцируем $0 = \frac{d}{{dx}}F\left( {x,y} \right) = F_x + F_y f'$. И окажется, что нечто любопытное должно происходить при $F_y = 0$.

[mihailm]

Oleg_BM в сообщении #1018811 писал(а):

...Спасибо! А это как делается?

Там будет некая поверхность второго порядка (параболоид кажись эллиптический). Никаких точек перегиба у поверхностей второго порядка не бывает. Как на это дело навести формализм сразу не вижу.