Пусть дано уравнение поверхности
![$F(x,y,z)=0$ $F(x,y,z)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/8/38857b47161806d94dff12e83bd0015082.png)
(1), где
![$F(x,y,z)=4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6$ $F(x,y,z)=4x^2+2y^2+3z^2+4xz-4yz-10x+4y+6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/2/bf2506e284b4d815584018a10dc3a65782.png)
(1)
1.
a) Написать систему уравнений, решениями которой являются те и только те тройки числе, являющиеся координатами точек поверхности с уравнением (1), в любой окрестности которых уравнение (1) не определяет
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
как непрерывную функцию от
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
и
![$y$ $y$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/c/deceeaf6940a8c7a5a02373728002b0f82.png)
.
b) Преобразовать систему в равносильную, в которой одно из уравненений есть уравнение цилиндра, с образующими, параллелельными оси
![$OZ$ $OZ$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/6/d16c9ef002bf1794e8532e34f337f50282.png)
,
c) Выписать уравнение ортогональной проекции на плоскость
![$(xy)$ $(xy)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/b/a9bcd74d10c942eae9d889ae34387b0982.png)
множества, обсуждаемого в этом пункте.
2.
а) Найти нижнюю и верхнюю грань значений
![$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/0/560262fbb627da1049a0e859e9c0ba9782.png)
на поверхности
![$F*(x,y,z)=1$ $F*(x,y,z)=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/0/ee0012cbfe73fc83cc92400bf9903da782.png)
.
b) Написать разложение
![$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/0/560262fbb627da1049a0e859e9c0ba9782.png)
по формуле Тейлора в каждой точке
![$M_k$ $M_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/f/7dff342f99b7bfbf6b5752d15ef9ffa282.png)
, подозрительной на экстремум.
с) Пусть
![$g(x,y)$ $g(x,y)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad12aa54f8f21fcf9d2ca60d689ed20a82.png)
-- сложная функция, которая получается, если в исследуемую на экстремум функцию подставить
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
, выраженное из уравнения поверхности, на которой считается экстремум. Не находя явного выражения
![$g(x,y)$ $g(x,y)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/d/1/ad12aa54f8f21fcf9d2ca60d689ed20a82.png)
написать ее разложение в точке
![$L_k$ $L_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/b/bfb6e556d3874a3157379133a8d7917a82.png)
б соответсвующих точкам
![$M_k:M_k\to L_k$ $M_k:M_k\to L_k$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/2/d820eaffa603fdd27c3f9c57af67e93882.png)
до членов, составляющий второй дифференциал включительно.
d) Сравнить пункты
![$b)$ $b)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/e/fbe851aae98a811557d9b1cb8a0ebaf582.png)
u
![$c)$ $c)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/7/cb7d456fbe66562a8e1b953968eb70c082.png)
и объяснить -- что они дают для решения задачи пункта
![$a)$ $a)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/5/595e4493232693f30315ef210789784182.png)
.
Если говорить про 1.Пункт, то я изначально не понимаю -- как начать строить такую систему пункта а). Вроде как
![$F(x,y,z)$ $F(x,y,z)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/0/fd03113078278bafa33ea2ef9a8efe2082.png)
непрерывна везде. Или я не прав?
Во втором пункте как делать пункты а) и b) понимаю очень хорошо, но вот как делать с) и d) не ясно. Выразить
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
можно легко. Но как не находя явного выражения написать выражение -- не очевидно. Можете подсказать -- в чем тут фишка?