Функция стремится к бесконечности

[Alexey1]

Необходимо показать, что следующая функция стремится к бесконечности. В данной задаче смущает только величина о() в условии.
Дана функция $V[x,y]=2y(by+g(x,y))-2x(-ax+f(x,y)),$ где $|f(x,y)|,|g(x,y)|\leqslant \gamma (|x|+|y|)$ если $|x|+|y|\leqslant r(\gamma),$ также известно, что $f,g=o(|x|+|y|), \gamma$ - произвольная константа, $a,b>0$.
Причём данная функция исследуется в малой окрестности начала координат и только x может быть отрицательным.
Знаю, что здесь надо использовать полный квадрат
$V[x,y]=2y(by+g(x,y))-2x(-ax+f(x,y))=$
$2by^2+2yg(x,y)+2ax^2-2xf(x,y)=$
$(\sqrt{b}y+\frac{g(x,y)}{2\sqrt{b}})^2+(\sqrt{a}x-\frac{f(x,y)}{2\sqrt{a}})^2-\frac{1}{4}(\frac{g^2(x,y)}{b}+\frac{f^2(x,y)}{a})\geqslant$
$(\sqrt{b}y+\frac{g(x,y)}{2\sqrt{b}})^2+(\sqrt{a}x-\frac{f(x,y)}{2\sqrt{a}})^2-\frac{1}{4}(\frac{\gamma^2(|x|+|y|)^2}{b}+\frac{\gamma^2(|x|+|y|)^2}{a})$
И вот здесь наверное надо использовать то, что $f,g=o(|x|+|y|)$. Но вот как?

[Brukvalub]

Alexey1 писал(а):

Необходимо показать, что следующая функция стремится к бесконечности.

Кто-то над Вами жестоко пошутил. При таких условиях функция V является бесконечно малой по базе проколотых окрестностей нуля, можно даже оценить порядок малости. О каком стремлении к бесконечности в какой-либо точке плоскости вообще может идти речь, если Вам заданы только оценки сверху для неизвестных слагаемых, а известные слагаемые - это многочлены?

[Alexey1]

Спасибо за ответ. Лучше будет если я расскажу Вам всю задачу. Даны два дифференциальных уравнения
$x'=-ax+f(x,y)$
$y'=by+g(x,y)$
Для проверки устойчивости данной системы в нуле необходимо использовать функцию Ляпунова $V[x,y]=y^2-x^2$. Я нашел производную этой функции и мне необходимо использовать теорему о нестабильности системы, то есть показать, что $V'[x,y]$ стремиться к бесконечности если аргументы стремяться к бесконечности независимо от того, как близко к нулю начальное условие. В качестве множества значений $(x,y)$ дано можество всех точек лежащих выше $y=|x|$.
Функции $f(x,y), g(x,y)$ представляют собой небольшие колебания для системы.
Например, система
$x'=-x$
$y'=y$
устойчива в нуле, только если начальные значения $y=0$.
Вы же имеете ввиду, что данная система с колебаниями устойчива в 0? Может быть я что-то не понимаю в задании.

[Brukvalub]

Сначала Вы писали:

Alexey1 писал(а):

Причём данная функция исследуется в малой окрестности начала координат и только x может быть отрицательным.

Теперь Вы пишите:

Alexey1 писал(а):

мне необходимо использовать теорему о нестабильности системы, то есть показать, что $V'[x,y]$ стремиться к бесконечности если аргументы стремяться к бесконечности

Вы уж определитесь, кто куда и зачем стремится, поскольку эти два высказывания слегка противоречат друг другу:shock:

[Alexey1]

Нет, про окрестность нуля, то это начальные условия. А как же говорить о стремлении к бесконечности, если аргументы функции маленькие? Или возможна другая формулировка для данной задачи?

Добавлено спустя 25 минут 39 секунд:

Скажите что можно сказать если сделать такое преобразование
$(|x|+|y|)^2((\frac{\sqrt{b}x}{(|x|+|y|)}+\frac{g(x,y)}{2\sqrt{a}(|x|+|y|)})^2+(\frac{\sqrt{a}x}{(|x|+|y|)}-\frac{f(x,y)}{2\sqrt{b}(|x|+|y|)})^2-\frac{1}{4}(\frac{\gamma^2}{b}+\frac{\gamma^2}{a}))$
Потому что если я правильно понимаю, то о-малое означает, что $\frac{f(x,y)}{(|x|+|y|)}$ стремиться к нулю, но вот прикаких условиях?

[Алексей К.]

Alexey1 писал(а):

Потому что, если я правильно понимаю, то о-малое означает, что $\frac{f(x,y)}{(|x|+|y|)}$ стремится (исправлено мной, АК) к нулю, но вот прикаких условиях?

А как берутся за диффуры, не зная, что такое "о малое"? Типа это в прошлом году учили? Про "о малое" мы недавно мило поболтали с Enne. Там есть и ссылка на объяснялку из Википедии.

[Alexey1]

Так вот в том то и дело, что эти условия должны удоветворять тем условиям при которых задача не имеет решения. С одной стороны аргумент стремиться к бесконечности, а с другой в малой окрестности.

Добавлено спустя 36 минут 46 секунд:

Тут наверное надо избавиться от $f(x,y), g(x,y)$ но вот как когда присутствуют другие функции от $x,y$. Нельзя же просто приравнять то что о-малое к нулю.

[Brukvalub]

Пока в Ваших сообщениях царит полная неразбериха. Вы пытаетесь решить нечто, не понимая основ решаемого. Поэтому и не находится храбрецов, готовых кинуться помогать человеку, который сам не понимает, какая помощь ему нужна. У PAV по этому поводу очень неплохо написано в его подписи - советую почитать и вдуматься. А разгребать за Вас всю Вашу задачу, начиная с правильной ее постановки - требует слишком много усилий. Например, я к этому не готов....(хотя и знаю принципы исследования решений д.у. на устойчивость). Часто хочется помочь тому человеку, который хотя бы в постановке своей задачи хорошо разобрался, но не знает, как начать ее решать.

[Alexey1]

Не могу не согласиться. Но в том то и дело, что я сомневаюсь в том способе решения который описан. Не знаю правильный ли он или нет и как делать дальше. Ведь постановка задачи ясна, а то к чему стремится функция это и есть вопрос.
Почему не ясна постановка?
Даны известные уравнения; дана функция Ляпунова; даны ограничения.
Необходимо определить устойчива ли система.

[Brukvalub]

Возможно, прочитав вот это: http://www-sbras.nsc.ru/rus/textbooks/akhmerov/ode_unicode/s-10/s-10.html
Вы лучше поймёте, чего Вы хотите достичь.

[Alexey1]

Спасибо за ссылку, прочитал. Мне необходимо показать, что $V'[x,y]\geqslant W[x,y]>0$, которую я записал в своём первом сообщении. Теперь надо показать, что та функция
$W[x,y]=(\sqrt{b}y+\frac{g(x,y)}{2\sqrt{b}})^2+(\sqrt{a}x-\frac{f(x,y)}{2\sqrt{a}})^2-\frac{1}{4}(\frac{\gamma^2(|x|+|y|)^2}{b}+\frac{\gamma^2(|x|+|y|)^2}{a})$ (последнее соотношение в моём первом сообщении)
больше нуля в окресности нуля для точек лежащих выше $y=|x|$.
Ещё раз спасибо.

[Alexey1]

Brukvalub что то у меня не получается показать это для этой функции.

[Brukvalub]

Это тривиально вытекает из того, что в проколотой окрестности нуля

\[ ax^2 + by^2 > 0 \]

и из определения символа о-малое.