Предел последовательности заданной через последовательность

[xolodec]

Есть следующая последовательность:

$$a_{n+1} = \frac{1}{n} (1\cdot b_1 + 2\cdot b_2 + \cdots + (n-1) \cdot b_{n-1} + n \cdot b_n )$$

причем известно, что $b_n = o(\frac{1}{n^2})$ при $n \to \infty$

Вопрос
Можно ли утверждать, что $a_n$ при $n \to \infty$ имеет своим пределом число 0 ?

Меня смущает, что в $a_n$ с ростом числа $n$ увеличивается число членов и кажется неправильным переходить к сумме пределов в данном случае.

[demolishka]

Отбросьте первые $n_0$ слагаемых в скобке, а остальные (точнее сомножители $b_k$) будут очень похожи на $\frac{1}{n^2}$. Что такое очень похожи узнаете, расписав условие

xolodec в сообщении #1018019 писал(а):

$b_n = o(\frac{1}{n^2})$

[VanD]

xolodec в сообщении #1018019 писал(а):

Можно ли утверждать, что $a_n$ при $n \to \infty$ имеет своим пределом число 0 ?

Влияние сколь угодно первых слагаемых можно сделать выбором $n > N$ сколь угодно незначительным, а дальше надо найти асимптотику для гармонического ряда - оттуда ясно, что умножение на $\frac{1}{n}$ успевает забить его порядком.

[xolodec]

demolishka в сообщении #1018027 писал(а):

Отбросьте первые $n_0$ слагаемых в скобке

А на каком основании мы имеем право их отбросить?

Отбросим первые $n_0$ слагаемых, и мы получим что то вроде

$$a_{n+1} = \frac{1}{n} ( (n_0+1)\cdot b_{n_0+1} + \cdots + (n-1) \cdot b_{n-1} + n \cdot b_n )$$

demolishka в сообщении #1018027 писал(а):

остальные (точнее сомножители $b_k$) будут очень похожи на $\frac{1}{n^2}$.

xolodec в сообщении #1018019 писал(а):

$b_n = o(\frac{1}{n^2})$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{1/n^2} = 0 $$

Это, кажется, понятно, но что из того, что все $b_k$ меньшего порядка малости, чем $\frac{1}{n^2}$? Понятно, что сумма бесконечно малых есть бесконечно малая. Может быть здесь можно написать что-то вроде $n\cdot b_n = o(1/n)$



Вообще говоря, кажется, можно совершенно равноправно заменить

$$a_{n+1} = \frac{1}{n} (1\cdot b_1 + 2\cdot b_2 + \cdots + (n-1) \cdot b_{n-1} + n \cdot b_n )$$

на

$$a_{n+1} = b_{n_0 + 1} + \cdots + b_{n-1} + b_n $$

поскольку в пределе при $n \to \infty~~$ можно $1/n$ внести в скобку и сократить c $(n - k)$. Но это, кажется, можно делать только в том случае, если мы переходим от предела суммы к сумме пределов, что нужно сначала обосновать. С этим у меня проблемы.
Каждый раз, когда я пытаюсь это обосновать, мне в голову лезет пример

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)$$

, где переход от предела суммы к сумме пределов ведет к неправильному ответу. Почему иногда можно переходить к сумме пределов, а иногда нельзя ?

VanD в сообщении #1018030 писал(а):

Влияние сколь угодно первых слагаемых можно сделать выбором $n > N$ сколь угодно незначительным

Не понимаю, почему. Ведь из того, что $b_n = o(\frac{1}{n^2})$ следует, что чем меньше индекс $k$, тем больше значение $b_k$, а значит отбрасывая первые сколько то там членов мы убираем значительную часть суммы.

[Brukvalub]

xolodec в сообщении #1018109 писал(а):

из того, что $b_n = o(\frac{1}{n^2})$ следует, что чем меньше индекс $k$, тем больше значение $b_k$,

Это невероятно греховная ересь!

[xolodec]

Brukvalub в сообщении #1018112 писал(а):

Это невероятно греховная ересь!

имелось в виду, что так может быть, но может быть не всегда, конечно

[2old]

$b_i = o(\frac{1}{n^2})$, значит $\lim\limits_{n\to\infty}b_n\cdot n^2 = 0$, тогда найдется такое $N_0$, что$\forall n>N_0$ $|b_n\cdot n^2|\leq\varepsilon, \varepsilon > 0$.

$$0\leq a_{n+1}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}b_i i = \frac{1}{n}\sum\limits_{1}^{N_0}b_i i + \frac{1}{n}\sum\limits_{N_0}^{n}b_i\cdot i^2\frac{1}{i}\leq\frac{S}{n}+\frac{\varepsilon}{n}\sum\limits_{N_0}^{n}\frac{1}{i}$$

А дальше понятно.

[xolodec]

2old в сообщении #1018118 писал(а):

А дальше понятно.

Действительно понятно, спасибо огромное! Разобрался.

Остался еще один вопрос у меня, почему мы все же не имеем права перейти в примере:

xolodec в сообщении #1018109 писал(а):

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)$$

к сумме пределов ?

[ex-math]

Потому что количество слагаемых зависит от $n$.

[xolodec]

ex-math в сообщении #1018126 писал(а):

Потому что количество слагаемых зависит от $n$.

То есть, строго говоря, переход к сумме пределов в моем примере:

xolodec в сообщении #1018019 писал(а):

$$a_{n+1} = \frac{1}{n} (1\cdot b_1 + 2\cdot b_2 + \cdots + (n-1) \cdot b_{n-1} + n \cdot b_n )$$

был бы ошибкой, верно ?

Спасибо большое!

[2old]

xolodec
Это у вас так любой ряд либо 0, либо расходится)))

[xolodec]

2old в сообщении #1018133 писал(а):

Это у вас так любой ряд либо 0, либо расходится)))

Есть такое ))
Спасибо большое, разобрался во всем!