Разложение небазисных векторов по базису

[san_raise]

Таак.... Векторы $\vec{m_i}$ те же. Спасибо за помощь, счет проверять не нужно
http://matrixcalc.org/slu.html#solve-using-Gauss-Jordan-elimination%28%7B%7B4,0,4,2,1%7D,%7B1,3,-5,-1,2%7D,%7B-3,1,-5,4,0%7D,%7B5,2,1,1,3%7D%7D%29
в этой ссылке решение систем, так что счет правильный) Я просто не могу понять, в чем ошибка в рассуждениях. Через пару минут постараюсь изложить все полностью.

[svv]

san_raise в сообщении #1016485 писал(а):

Задание полностью:

Чтобы было совсем полностью, напишите ещё, чему равны $\bar n_1, \bar n_2, \bar n_3$ в Вашем варианте.

-- Вс май 17, 2015 17:35:07 --

san_raise в сообщении #1016492 писал(а):

Я просто не могу понять, в чем ошибка в рассуждениях.

Возможно, взяв в базис лишний вектор $\vec m_3$ (являющийся линейной комбинацией других), Вы не включили вместо него какой-то, который действительно нужен.

[san_raise]

Если все по пунктам, то так:
1. В пространстве $R_4$ даны столбцы : $\vec{m_1}, \vec{m_2} \vec{m_3}, \vec{n_1}, \vec{n_2}, \vec{n_3}$
2. Я нашел базис и размерность подпространств $M$, состоящего из $m_i$и $N$, состоящего из $n_i$
3. Разложил небазисные вектора из этих подпространств по соответствующим базисам.
4. Теперь требуется найти базис подпространства $M+N$ и разложить небазисные вектора этого подпространства по этому базису (как во 2 и 3 пунктах).
5. Для этого я составил матрицу из всех векторов:$\vec{m_1}, \vec{m_2} \vec{m_3}, \vec{n_1}, \vec{n_2}, \vec{n_3}$, нашел ее ранг, равный размерности
он получился равным 4. Соответственно, в подпространстве $M+N$ 4 базисных вектора и 2 небазисных ($\vec{n_2,},\vec{n_3}$). Снова составил матрицу вида $\vec{n_2,3}=a\vec{m_1}+b\vec{m_2}+c\vec{m_3}+d\vec{n_1}$.
Сейчас напишу координаты векторов $n_i$

-- 17.05.2015, 17:53 --

$\vec{n_1}=(2; -1; 4 1)$
$\vec{n_2}=(1; 2; 0; 3)$
$\vec{n_3}=(2; 0; -2; 1)$

-- 17.05.2015, 17:55 --

Цитата:

Возможно, взяв в базис лишний вектор $\vec m_3$ (являющийся линейной комбинацией других), Вы не включили вместо него какой-то, который действительно нужен.

Вот я прямо чувствую, что именно где-то здесь я и ошибаюсь

[svv]

san_raise в сообщении #1016502 писал(а):

небазисные вектора из этих подпространств по соответствующим базисам

Выражение не слишком корректное. Здесь, конечно, имеется в виду разложение не всех векторов подпространства (их континуум!), а только разложение тех одного-двух векторов из системы, которые не вошли в базис.

[san_raise]

svv
Да, конечно, именно это я и имел ввиду.

[svv]

Пожалуйста, проверьте ещё раз векторы $n_i$, которые Вы дали, особенно знаки. Пока что все они линейно независимы, что означает, что $\operatorname{dim}N=3$.

[san_raise]

svv
Да, все верно. Сейчас покажу решение.

[svv]

Хорошо.
Итак, $\dim M=2$, а базис $M$ состоит из векторов $\bar m_1, \bar m_2$.
Далее, $\dim N=3$, а базис $N$ состоит из векторов $\bar n_1, \bar n_2, \bar n_3$.
Но, как Вы догадываетесь, это вовсе не значит, что $\dim (M+N)=5$, а базис $M+N$ получается объединением базиса $M$ и базиса $N$. Хоть каждый базис в отдельности — линейно независимая система векторов, но векторы обоих базисов, собранные вместе, могут быть (и в действительности являются) линейно зависимой системой. Поэтому надо тем же способом установить зависимости между ними.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

san_raise
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Убирайте все картинки в теме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

-- 17.05.2015, 22:10 --

san_raise

Замечание за упорное игнорирование правил, запрещающих заменять формулы изображениями без особой на то необходимости.

Совсем не обязательно приводить полные списки заданий в контрольной и полные решения, достаточно ограничиться непонятными моментами.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[san_raise]

Вот в ходе вычислений получилось, что :
$dim(M)=2$
$dim(N)=3$
$dim(M+N)=4$
Теперь, исходя из
Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств M и N конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств.
Получаю:
$dim(M)+dim(N)=dim(M+N)+dim(M \cap N)$
$2+3=4+dim(M \cap N)$
Выходит, что $dim(M \cap N)=1$???

[mihailm]

да

[san_raise]

mihailm
И это вообще нормально? Просто тяжеловато представить себе 5ти и 1мерные пространства...

[mihailm]

одномерные пространства это прямые, пятимерное не представлял, и не представляю зачем это нужно)

[san_raise]

mihailm
Аааа....понял. Еще раз, БОЛЬШОЕ СПАСИБО !!!