импульсное представление

[kernel85]

Добрый день.
Подскажите пожалуйста как перейти к такому представлению скалярного поля и как там появляется дельта-функция.
$\psi(x)= \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ix^\mu k_\alpha}\delta(k_\alpha^2-m^2)\psi(k) $

Спасибо.

[Munin]

Подсказываю: берёте уравнение Клейна-Гордона, фурьяете, и получаете $(k_\alpha^2-m^2)\psi(k)=0.$ Его решение очевидно:

$$\forall\,\,\psi(k)\ne 0\quad\Rightarrow\quad(k_\alpha^2-m^2)=0.$$

(Оффтоп)

Или фурьите? Не помню, как правильно. Главное, не перепутайте.

[Kirill_Sal]

Уравнение

kernel85 в сообщении #1017824 писал(а):

Добрый день.
Подскажите пожалуйста как перейти к такому представлению скалярного поля и как там появляется дельта-функция.
$\psi(x)= \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-ix^\mu k_\alpha}\delta(k_\alpha^2-m^2)\psi(k) $

Спасибо.

Скалярное поле записывается в вида интеграла:

$\varphi(\vec{x},t)=\int \frac{d^3k}{2E_{p}(2\pi)^3}e^{-ix^\mu k_\mu}\varphi_{p}(t)$

Дальше - вспоминаем, как действует лоренц-инвариантная дельта-функция:

$\int{[dk^0\delta(k^2-m^2)f(k^0,\vec{k})]}=\int{[dk^0\delta((k^0)^2-\vec{k}^2-m^2)f(k^0,\vec{k})]}=(1/2\sqrt{\vec{k}^2+m^2})f(\sqrt{\vec{k}^2+m^2},\vec{k})$

Такие вычисления проводятся с помощью формулы:

$\delta(f(x))=\sum{(1/f'(x_{k}))\delta(x_{k})}$, где $x_{k}$ - корни уравнения $f(x)=0$.

Да, и в Вашем представлении должен быть еще множитель $2\pi$. То есть в знаменателе, как было $(2\pi)^3$, так и остается.