ФЛФ вып. 6 (Электродинамика), задача про поле проводника

[spaar]

На всякий случай оговорю, что все рассуждения и уравнения, начиная со второго моего поста, только в СК провода.

rustot в сообщении #1017535 писал(а):

Да нет, $\gamma$. Для $E_x$ и $E_z$ меняется только $y$ в числителе на $x$ и $z$ соответственно. это я точно помню. Асимметрия только в знаменателе

Меняется только координата, но везде $\gamma^2 = 1 - v^2$ . Посмотрите, что получается при $x=0$. Должно же быть поле покоящегося заряда, делённое на $\gamma$, согласны? Для этого в числителе нужна $\gamma^2$, ведь в знаменателе $\gamma^3$.

С интегралом я, однако, протупил. Известно же поле заряженной нити, значит для покоящихся зарядов
$E_\perp_0 = \dfrac{\lambda a}{2 \pi \varepsilon_0} {\int\limits_0^\infty \dfrac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} } = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a }$
или
${\int\limits_0^\infty \dfrac{dx}{(x^2 + a^2)^{3/2}} } = \dfrac{1}{a^2}$.

Вот такой простой интеграл Можно и чудо-программой посчитать.

Для движущихся, если взять $b^2 = (1 - v^2) a^2$, чисто математически получается то же самое:
$E_\perp_0 = \dfrac{\lambda a (1 - v^2)}{2 \pi \varepsilon_0} {\int\limits_0^\infty \dfrac{dx}{(x^2 + b^2)^{3/2}} } = \dfrac{\lambda a (1 - v^2)}{2\pi\varepsilon_0 b^2 } = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a }$.

Поэтому вот этого:

Munin в сообщении #1017554 писал(а):

Так лямбды у них разные. За счёт этого и получаются интегралы одинаковые.

я не понимаю.

[rustot]

spaar в сообщении #1017684 писал(а):

Должно же быть поле покоящегося заряда, делённое на $\gamma$

Почему деленное? Умноженное. Точно "сбоку" от движущегося заряда поле усиливается в $\gamma$ раз, точно "впереди"/"сзади" ослабляется в $\gamma^2$

$E_y = \frac{q\gamma y}{(\gamma^2 x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{q \gamma y}{(0 + y^2 + 0)^{3/2}} = \frac{\gamma q}{y^2}$

$E_x = \frac{q\gamma x}{(\gamma^2 x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} = \frac{q\gamma x}{(\gamma^2 x^2 + 0 + 0)^{3/2}} = \frac{q}{\gamma^2 x^2}$

spaar в сообщении #1017684 писал(а):

Меняется только координата, но везде $\gamma^2 = 1 - v^2$

А, вон в чем дело. Через $\gamma$ обозначается обратная величина, $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \ge 1$

$E_y = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\lambda\gamma y}{(\gamma^2 x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} dx = \frac{\lambda \gamma y x}{(y^2 + z^2)\sqrt{\gamma^2 x^2 + y^2 + z^2}}|_{-\infty}^{\infty} = \frac{2\lambda y}{y^2 + z^2}$, сократилась $\gamma$

[Munin]

rustot
Если смотреть на ваше объяснение, то вопрос просто переходит на новую ступеньку: почему дифференциальное уравнение Максвелла $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$ верно для движущегося заряда, и вообще верно ли?

На это приходится отвечать так: это экспериментальный факт.

-- 20.05.2015 10:01:16 --

spaar в сообщении #1017684 писал(а):

На всякий случай оговорю, что все рассуждения и уравнения, начиная со второго моего поста, только в СК провода. ...
Поэтому вот этого:

Munin в сообщении #1017554 писал(а):

Так лямбды у них разные. ...

я не понимаю.

А, это я вас не понял. В одной и той же СК - одинаковые, конечно же.

[spaar]

rustot в сообщении #1017689 писал(а):

А, вон в чем дело. Через $\gamma$ обозначается обратная величина, $\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \ge 1$

Ага, я уже тоже понял. Извиняюсь, не знал традиционного обозначения.

Ещё раз всем спасибо, разобрался

[rustot]

А я сначала так же неверно понял картинку поля движущегося заряда как "увеличивается поперечная составляющая и уменьшается продольная", тогда как на самом деле увеличиваются и уменьшаются все составляющие

-- 20.05.2015, 12:29 --

Munin в сообщении #1017690 писал(а):

Если смотреть на ваше объяснение, то вопрос просто переходит на новую ступеньку: почему дифференциальное уравнение Максвелла $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0$ верно для движущегося заряда, и вообще верно ли?

Так естественно все это говорится с префиксом "если уравнения Максвелла верны, то", я же не личным опытом делюсь :)

[Munin]

rustot в сообщении #1017699 писал(а):

А я сначала так же неверно понял картинку поля движущегося заряда как "увеличивается поперечная составляющая и уменьшается продольная", тогда как на самом деле увеличиваются и уменьшаются все составляющие

Так, погодите. Увеличиваются или уменьшаются - в сравнении с чем? Там можно разные формулировки дать, которые будут обе верны.

[rustot]

Munin в сообщении #1017720 писал(а):

Так, погодите. Увеличиваются или уменьшаются - в сравнении с чем? Там можно разные формулировки дать, которые будут обе верны.

В сравнении с полем покоящегося заряда. Вот у поля покоящегося в начале координат заряда были в выбранной точке составляющие $E_x, E_y$, значит у двигающегося через начало координат вдоль $x$ в той же точке $E_x$ поменьше а $E_y$ побольше - это неверное утверждение, зависит от точки

[Munin]

Приведу две простых интерпретации вопроса:

1. Возьмём точку, которая расположена на тех же $\Delta x,\Delta y$ от заряда, что и другая точка от неподвижного заряда.

2. Возьмём точку, которая расположена на тех же $\Delta x',\Delta y'$ от заряда (в ИСО заряда), на каких $\Delta x,\Delta y$ была другая точка от неподвижного заряда.

А отвечать на них я предпочту в обратном порядке, от простого к сложному:

2. Возьмём точку, которая расположена на тех же $\Delta x',\Delta y'$ от заряда (в ИСО заряда), на каких $\Delta x,\Delta y$ была другая точка от неподвижного заряда.

Тогда будет неверно, что "$E_x$ поменьше а $E_y$ побольше". Верно будет, что $E_y$ побольше, а вот $E_x$ такая же. Соотношения между ними - стандартные преобразования Лоренца для электрического поля: поперечные поля раздуваются в $\gamma$ раз, а продольные неизменны (по сравнению с ИСО без магнитного поля, или с магнитным полем вдоль оси буста). См. формулы ЛЛ-2 между (38.5) и (38.6). На языке линий поля: мы выделяем вокруг неподвижного заряда сферу, и при бусте она сжимается в продольном направлении. Линии поля, "вмороженные" в эту сферу, тоже сжимаются и поворачиваются. Чтобы правильно интерпретировать картину линий поля, надо посчитать поток этих линий через единичную площадку заданной ориентации (эту площадку нужно выбрать в новом месте, в соответствии со сжатием сферы, но единичную площадь - измерять в неподвижной ИСО). Так вот, через продольную площадку линии сгущаются - так что поперечная составляющая поля увеличивается. А через поперечную площадку линии проходят те же самые - так что продольная составляющая поля неизменна.

1. Возьмём точку, которая расположена на тех же $\Delta x,\Delta y$ от заряда, что и другая точка от неподвижного заряда.

Тогда будет неверно, что "$E_x$ поменьше а $E_y$ побольше". Вместо этого, верно другое: $E_x$ и $E_y$ изменяются с одинаковым коэффициентом, но зато этот коэффициент зависит от направления на заряд. См. ЛЛ-2 формулу (38.8). Одинаковый коэффициент нас удивлять не должен: линии поля остаются прямолинейными, направленными на заряд, значит, $\mathbf{E}\sim\mathbf{R},$ и соотношения между составляющими вектора жёстко зафиксированы. А вот коэффициент получается сложный: если мы рассматриваем поле вблизи продольного направления от заряда, то оно уменьшается, а если мы рассматриваем поле вблизи поперечного направления от заряда, то оно увеличивается. При этом, максимальные коэффициенты уменьшения и увеличения разные. Понять это можно так: мы выделяем вокруг неподвижного заряда сферу, и после буста снова выделяем такую же сферу. Линии поля сжались и повернулись в пространстве (см. картинки в Парселле), но при этом количество этих линий осталось тем же самым - теорема Гаусса гласит, что интеграл по сфере не изменился. Сфера трёхмерная, и площадь около экватора на ней - больше площади около полюсов. Значит, поле у экватора можно увеличить в меньшее количество раз, чем оно уменьшилось у полюсов. Так и происходит: у полюсов поле уменьшается в $\gamma^2$ раз, а на экваторе - увеличивается в $\gamma$ раз.

Вот так вот куча математики совпадает с простыми картинками.