2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
ewert в сообщении #1017578 писал(а):
Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):
Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании,

И не только не очевидно, но даже и естественно неверно.
Ну, по крайней мере, я знаю несколько мультипликативных матричных норм, для которых это верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:10 
Заслуженный участник


11/05/08
31481

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1017582 писал(а):
Ну, по крайней мере, я знаю несколько мультипликативных матричных норм, для которых это верно.

А Вы все их перебрали?... ну пусть даже операторные, а не просто мультипликативные -- все?..

Если мне не отшибает память, тут речь шла о произвольной норме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:35 


16/03/11
14
g______d в сообщении #1017556 писал(а):
Ещё раз, почему любая матричная норма сохраняется при преобразовании подобия? Я всё пропустил.


Насчет сохранения нормы при преобразовании подобия - это я по запарке сморозил. Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Dref в сообщении #1017595 писал(а):
Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.


В смысле можно было бы использовать, если бы оно было верно?

-- Вт, 19 май 2015 14:45:36 --

Собственно, вы зря Narn не послушали. В том тексте из леммы 11 сразу следует, что существует матричная норма, такая что эта норма $E_{ij}$ сколь угодно мала (если $i\neq j$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:48 


16/03/11
14
g______d в сообщении #1017598 писал(а):
Dref в сообщении #1017595 писал(а):
Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.


В смысле можно было бы использовать, если бы оно было верно?


В данном случае используется тот факт, что преобразованием подобия матрицу $E_{ij}$ можно привести к матрице $E_{ji}$ и наоборот.
Отсюда, применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.

-- Ср май 20, 2015 00:52:44 --

g______d в сообщении #1017598 писал(а):
Собственно, вы зря Narn не послушали. В том тексте из леммы 11 сразу следует, что существует матричная норма, такая что эта норма $E_{ij}$ сколь угодно мала (если $i\neq j$).


Я начал читать лекции, на которые дал ссылку Narn. Нашел там кучу опечаток. Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка. Надо внимательно разобрать ее доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 01:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Dref в сообщении #1017602 писал(а):
применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.


Какие свойства? Можно подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 01:21 


16/03/11
14
g______d в сообщении #1017608 писал(а):
Dref в сообщении #1017602 писал(а):
применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.


Какие свойства? Можно подробнее?


Sorry, кажется, опять trouble. Я почему-то решил, что $||P^{-1}||=\frac{1}{||P||}$. Хотя, конечно, вместо знака "=" должен стоять знак "$\geq$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 01:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Dref в сообщении #1017602 писал(а):
Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка.


Ну я конкретное доказательство не проверял, но факт сам по себе довольно известный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 01:33 


16/03/11
14
g______d в сообщении #1017613 писал(а):
Dref в сообщении #1017602 писал(а):
Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка.


Ну я конкретное доказательство не проверял, но факт сам по себе довольно известный.


Хорошо, спасибо за бдительность и замечания. Проштудирую ссылку от Narn. Вообще, вопрос о нормах возник, скажем так, случайно. Я не совсем в теме, отсюда пробелы в знаниях :-( . У Ланкастера я такого факта не нашел, хотя о спектральном радиусе речь идет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 07:40 


28/05/08
277
Трантор
Факт, может, и известный, но ссылку хорошую найти не так легко оказалось. Dref, посмотрите книгу Householder, The theory of matrices in numerical analysis. Там в секции 2.3 то же самое доказывается, и, кажется, тем же методом, но это все-таки монография, а не какой-то конспект, должно аккуратнее быть написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 08:51 


16/03/11
14
Narn в сообщении #1017652 писал(а):
Dref, посмотрите книгу Householder, The theory of matrices in numerical analysis.


Narn, спасибо. Когда знаешь, что факт имеет место быть, то ссылки искать уже легче. Нашел достаточно хорошее и подробное изложение матричных норм в переведенной на русский язык книге Р. Хорн, Ч. Джонсон "Матричный анализ",
В частности, обсуждаемый нами факт доказывается в лемме 5.6.10.

Вообще, спасибо всем, кто принимал участие в дискуссии. Общими усилиями докопались до истины!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group