Нижняя граница матричной нормы

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1017578 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):

Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании,

И не только не очевидно, но даже и естественно неверно.

Ну, по крайней мере, я знаю несколько мультипликативных матричных норм, для которых это верно.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1017582 писал(а):

Ну, по крайней мере, я знаю несколько мультипликативных матричных норм, для которых это верно.

А Вы все их перебрали?... ну пусть даже операторные, а не просто мультипликативные -- все?..

Если мне не отшибает память, тут речь шла о произвольной норме.

[Dref]

g______d в сообщении #1017556 писал(а):

Ещё раз, почему любая матричная норма сохраняется при преобразовании подобия? Я всё пропустил.

Насчет сохранения нормы при преобразовании подобия - это я по запарке сморозил. Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.

[g______d]

Dref в сообщении #1017595 писал(а):

Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.

В смысле можно было бы использовать, если бы оно было верно?

-- Вт, 19 май 2015 14:45:36 --

Собственно, вы зря Narn не послушали. В том тексте из леммы 11 сразу следует, что существует матричная норма, такая что эта норма $E_{ij}$ сколь угодно мала (если $i\neq j$).

[Dref]

g______d в сообщении #1017598 писал(а):

Dref в сообщении #1017595 писал(а):

Это, конечно, не верно. Но его можно использовать при доказательстве равенства мультипликативных норм матриц $E_{ij}$ и $E_{ji}$.

В смысле можно было бы использовать, если бы оно было верно?

В данном случае используется тот факт, что преобразованием подобия матрицу $E_{ij}$ можно привести к матрице $E_{ji}$ и наоборот.
Отсюда, применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.

-- Ср май 20, 2015 00:52:44 --

g______d в сообщении #1017598 писал(а):

Собственно, вы зря Narn не послушали. В том тексте из леммы 11 сразу следует, что существует матричная норма, такая что эта норма $E_{ij}$ сколь угодно мала (если $i\neq j$).

Я начал читать лекции, на которые дал ссылку Narn. Нашел там кучу опечаток. Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка. Надо внимательно разобрать ее доказательство.

[g______d]

Dref в сообщении #1017602 писал(а):

применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.

Какие свойства? Можно подробнее?

[Dref]

g______d в сообщении #1017608 писал(а):

Dref в сообщении #1017602 писал(а):

применяя свойства мультипликативной нормы, получаем, что $||E_{ij}||=||E_{ji}||$.

Какие свойства? Можно подробнее?

Sorry, кажется, опять trouble. Я почему-то решил, что $||P^{-1}||=\frac{1}{||P||}$. Хотя, конечно, вместо знака "=" должен стоять знак "$\geq$".

[g______d]

Dref в сообщении #1017602 писал(а):

Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка.

Ну я конкретное доказательство не проверял, но факт сам по себе довольно известный.

[Dref]

g______d в сообщении #1017613 писал(а):

Dref в сообщении #1017602 писал(а):

Такое подозрение, что и в лемму 11 закралась какая-то ошибка.

Ну я конкретное доказательство не проверял, но факт сам по себе довольно известный.

Хорошо, спасибо за бдительность и замечания. Проштудирую ссылку от Narn. Вообще, вопрос о нормах возник, скажем так, случайно. Я не совсем в теме, отсюда пробелы в знаниях . У Ланкастера я такого факта не нашел, хотя о спектральном радиусе речь идет.

[Narn]

Факт, может, и известный, но ссылку хорошую найти не так легко оказалось. Dref, посмотрите книгу Householder, The theory of matrices in numerical analysis. Там в секции 2.3 то же самое доказывается, и, кажется, тем же методом, но это все-таки монография, а не какой-то конспект, должно аккуратнее быть написано.

[Dref]

Narn в сообщении #1017652 писал(а):

Dref, посмотрите книгу Householder, The theory of matrices in numerical analysis.

Narn, спасибо. Когда знаешь, что факт имеет место быть, то ссылки искать уже легче. Нашел достаточно хорошее и подробное изложение матричных норм в переведенной на русский язык книге Р. Хорн, Ч. Джонсон "Матричный анализ",
В частности, обсуждаемый нами факт доказывается в лемме 5.6.10.

Вообще, спасибо всем, кто принимал участие в дискуссии. Общими усилиями докопались до истины!