Нижняя граница матричной нормы

[Dref]

1. Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы? Для наиболее распространенных видов матричных норм ответ отрицательный, но как это показать в общем случае, не знаю.

2. Обобщение первого вопроса. Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Подскажите с ответом или подскажите литературу, где можно найти ответы на эти вопросы. Просмотрел по теории матриц Ланкастера и Гантмахера, но то, что надо, там найти не смог.

[Brukvalub]

Dref в сообщении #1017165 писал(а):

Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Докажите, что умножение нормы на положительную константу превращает ее снова в норму, и вы сами ответите на свой вопрос.

[Dref]

Извиняюсь, я имел ввиду мультипликативные нормы (со свойством $||AB||\leq ||A||||B||$). В случае умножения на константу, меньшую единицы, свойство мультипликативности может нарушаться.

[Narn]

Спектральный радиус ( http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius ) не поможет? Это минимальная из мультипликативных норм, в каком-то смысле. Так, конечно, нельзя говорить --- это вообще не норма, но он оценивает снизу любую мультипликативную норму.

[Dref]

Ну, спектральный радиус - это, ведь, не точная нижняя граница для норм, совсем не очевидно, что она достигается или хотя бы является инфимумом.

[Narn]

Для фиксированной матрицы - именно инфимум, вроде (я ни разу не специалист, просто как-то рассказывали нам про это дело, сейчас точные формулировки и ссылки гуглить надо).
Например, см. лемму 11 тут ( http://www.math.drexel.edu/~foucart/TeachingFiles/F12/M504Lect6.pdf ) и формулу сразу перед теоремой 12

[Brukvalub]

Dref в сообщении #1017165 писал(а):

Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.

[Dref]

Brukvalub в сообщении #1017302 писал(а):

Dref в сообщении #1017165 писал(а):

Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.

В данном случае вы совершенно правы, т.к. $E^2_{ii}=E_{ii}$. А как быть, если $i\not=j$? Попробовать преобразования подобия (они, как известно, не меняют нормы), чтобы привести матрицу к диагональному виду?

[Narn]

А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.

[Brukvalub]

$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.

[Dref]

Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):

$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.

Brukvalub, спасибо, по-моему, это то, что нужно. Доказать равенство нормы матрицы $E_{ij}$ и ее транспонированной можно с помощью преобразования подобия. Подберем невырожденную матрицу $P$ такую, что $PE_{ij}P^{-1}=E_{ji}$. Тогда по свойству нормы получаем $||E_{ji}||\leq ||E_{ij}||$. Аналогично доказываем, что $||E_{ij}||\leq ||E_{ji}||$.

-- Вт май 19, 2015 19:56:29 --

Narn в сообщении #1017341 писал(а):

А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.

Narn, вариант со спектральным радиусом здесь, по-моему, не работает. В схеме доказательства, предложенной Bruklovod, вроде бы, все верно и мультипликативная норма матриц $E_{ij}$ не может быть меньше $1$. В любом случае, спасибо за ссылку, на досуге почитаю, возможно найду для себя что-то полезное.

[Brukvalub]

Dref в сообщении #1017425 писал(а):

В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"?

[Dref]

Brukvalub в сообщении #1017432 писал(а):

Dref в сообщении #1017425 писал(а):

В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"?

Excuse me, зарапортовался .

[g______d]

Ещё раз, почему любая матричная норма сохраняется при преобразовании подобия? Я всё пропустил.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):

Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании,

И не только не очевидно, но даже и естественно неверно.