2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 13:48 


16/03/11
14
1. Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы? Для наиболее распространенных видов матричных норм ответ отрицательный, но как это показать в общем случае, не знаю.

2. Обобщение первого вопроса. Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Подскажите с ответом или подскажите литературу, где можно найти ответы на эти вопросы. Просмотрел по теории матриц Ланкастера и Гантмахера, но то, что надо, там найти не смог.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Справедливо ли, что норма матрицы $A=\{a_{ij}\}$ всегда не меньше,
чем $\max\limits_{i,j}|a_{ij}|$?

Докажите, что умножение нормы на положительную константу превращает ее снова в норму, и вы сами ответите на свой вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 14:17 


16/03/11
14
Извиняюсь, я имел ввиду мультипликативные нормы (со свойством $||AB||\leq ||A||||B||$). В случае умножения на константу, меньшую единицы, свойство мультипликативности может нарушаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 15:07 


28/05/08
277
Трантор
Спектральный радиус ( http://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_radius ) не поможет? Это минимальная из мультипликативных норм, в каком-то смысле. Так, конечно, нельзя говорить --- это вообще не норма, но он оценивает снизу любую мультипликативную норму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:07 


16/03/11
14
Ну, спектральный радиус - это, ведь, не точная нижняя граница для норм, совсем не очевидно, что она достигается или хотя бы является инфимумом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:33 


28/05/08
277
Трантор
Для фиксированной матрицы - именно инфимум, вроде (я ни разу не специалист, просто как-то рассказывали нам про это дело, сейчас точные формулировки и ссылки гуглить надо).
Например, см. лемму 11 тут ( http://www.math.drexel.edu/~foucart/TeachingFiles/F12/M504Lect6.pdf ) и формулу сразу перед теоремой 12

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:04 


16/03/11
14
Brukvalub в сообщении #1017302 писал(а):
Dref в сообщении #1017165 писал(а):
Может ли норма матрицы $E_{ij}$ (с единицей на месте $(i,j)$ и остальными нулями) быть меньше единицы?

Если матрица - квадратная (это вытекает из требования мультипликативности нормы) и $i=j$ , то тривиально доказывается, что норма не может быть меньше 1.


В данном случае вы совершенно правы, т.к. $E^2_{ii}=E_{ii}$. А как быть, если $i\not=j$? Попробовать преобразования подобия (они, как известно, не меняют нормы), чтобы привести матрицу к диагональному виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:18 


28/05/08
277
Трантор
А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 19:45 


16/03/11
14
Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):
$E_{ij} \cdot E_{ji}=E_{ij}$. Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании, то проходит предыдущее рассуждение, доказывающее, что норма не может быть меньше 1.


Brukvalub, спасибо, по-моему, это то, что нужно. Доказать равенство нормы матрицы $E_{ij}$ и ее транспонированной можно с помощью преобразования подобия. Подберем невырожденную матрицу $P$ такую, что $PE_{ij}P^{-1}=E_{ji}$. Тогда по свойству нормы получаем $||E_{ji}||\leq ||E_{ij}||$. Аналогично доказываем, что $||E_{ij}||\leq ||E_{ji}||$.

-- Вт май 19, 2015 19:56:29 --

Narn в сообщении #1017341 писал(а):
А для $i \neq j$ можно построить норму, сколь угодно близкую к 0, так как других собственных чисел нет. Документ по моей ссылке посмотрите все-таки.


Narn, вариант со спектральным радиусом здесь, по-моему, не работает. В схеме доказательства, предложенной Bruklovod, вроде бы, все верно и мультипликативная норма матриц $E_{ij}$ не может быть меньше $1$. В любом случае, спасибо за ссылку, на досуге почитаю, возможно найду для себя что-то полезное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13098
Москва
Dref в сообщении #1017425 писал(а):
В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"? :shock: :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 22:47 


16/03/11
14
Brukvalub в сообщении #1017432 писал(а):
Dref в сообщении #1017425 писал(а):
В схеме доказательства, предложенной Bruklovod

А енто хто такой, "Bruklovod"? :shock: :D


Excuse me, зарапортовался :oops: .

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение19.05.2015, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5038
Ещё раз, почему любая матричная норма сохраняется при преобразовании подобия? Я всё пропустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нижняя граница матричной нормы
Сообщение20.05.2015, 00:00 
Заслуженный участник


11/05/08
31481
Brukvalub в сообщении #1017342 писал(а):
Если предположить (что естественно, но не очевидно!), что норма матрицы не меняется при транспонировании,

И не только не очевидно, но даже и естественно неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group