2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 13:30 


18/05/15
7
как доказать что данная система векторов полная система в пространстве $l_1$
$\vec{e}_1=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
$\vec{e}_2=\left(0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
$\vec{e}_3=\left(0,0,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0,0,\dots\right)$
............

я знаю что для полноты надо что бы замкнутость $span\{e_n\}$ совпадало со всей $l_1$, тоисть мне надо доказать, что есть такие числы $a_i$, что любой вектор $\vec{x}$ из $l_1$ представляется суммой $\sum_{i=1}^{\infty}{a_ie_i}$, и этот ряд сходится? если да, то как это доказать?

спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.05.2015, 15:31 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

DinaAnid
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 16:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Покажите, что в замыкании линейной оболочки ваших векторов содержится стандартный базис $e_n = (0, 0, ...,1, 0, 0,....)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 16:36 


18/05/15
7
спасибо за помощ
извените а немного поконкретнее, как это показать?
если допустим, что
$f_1=\left(1,0,0,\dots\right)$
$f_2=\left(0,1,0,\dots\right)$
...................
стандартый базис

то если я смогу установите связь со стандартным базисом и моимы векторомы $e_n$ это как то поможет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 17:18 
Заслуженный участник


22/11/10
1184
Я бы, на Вашем месте, обратил внимание на тот "странный" факт, что сумма координат у всех векторов $e_n$ равна 0. Это ж-ж-ж неспроста ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 17:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
DinaAnid в сообщении #1016798 писал(а):
если я смогу установите связь со стандартным базисом и моимы векторомы $e_n$ это как то поможет

Если вы умеете приближать элементы системы, то умеете приближать и элементы, которые можно приблизить элементами системы.

Другое дело, кто Вас надоумил на то, что система полная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 17:36 


18/05/15
7
мне надо узнать базис ли данная систем в $l_1$, вот и надо проверить полноту, минимальность и то что $\|\sum_{i=1}^{N}{a_ie_i}\|$ ограничен

мне скозали что базис

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну сможете ли вы например приблизить вектор $x = (1,0,0...)$ с точностью $\varepsilon$ с помощью линейных комбинаций векторов вашей системы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 18:02 


18/05/15
7
кажется нет, немогу найти такое соотношение, выходит это вовсем не базис?

а, если допустим у меня вот такие векторы, и опять надо доказать полноту в $l_1$
$e_1=\left(\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
$e_2\left(0,\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
$e_3\left(0,0,\frac{2}{3},\frac{2}{9},\frac{2}{27},\dots\right)$
.......................

и я нашла вот это соотношение между этими векторами и стандартным базисом
$f_k=\frac{3}{2}e_k-\frac{1}{2}e_{k+1}$ , где $f_k=\left(0,0,\dots,1,\dots\right)$ то система $\{e_k\}$ полная в $l_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
DinaAnid в сообщении #1016844 писал(а):
выходит это вовсем не базис?

Да. Но если добавить к исходным векторам вектор $(1,0,0,...)$, то они уже станут образовывать базис.
DinaAnid в сообщении #1016844 писал(а):
и я нашла вот это соотношение между этими векторами и стандартным базисом
$f_k=\frac{3}{2}e_k-\frac{1}{2}e_{k+1}$ , где $f_k=\left(0,0,\dots,1,\dots\right)$ то система $\{e_k\}$ полная в $l_1$?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать полноту в $l_1$
Сообщение18.05.2015, 18:22 


18/05/15
7
выходит первая система не полная, а если взять вторую систему, то система полна

что ж, огромное спасибо Вам

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group