определитель обратной и прямой целочисленных матриц

[2old]

$A,A^{-1}\in M_{n}(\mathbb{Z})$ Какой возможный определитель?
Ясно, что из условия и $1=\det{E}=\det{A}\det{A^{-1}}$ следует $\det{A}\in\{-1,1\}$.
Но я сначала решать по-другому и застрял:
1. $A,A^{-1}\in M_{n}(\mathbb{Z})$, значит $\det{A}=\sum\limits_{\sigma\in S_n}\varepsilon^{\sigma}a_{1\sigma 1}\dots a_{n\sigma n}$, тоже целочисленный.
2. $A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}A^{*}$

Здесь остается возможность, что все алгебраические дополнения будут кратны $\det{A}$.
$\delta_{ij}\det{A}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}$ (*)
Наверное, отсюда можно как-то показать, что этого не может быть, но у меня не получается.

-- 18.05.2015, 11:18 --

Из (*) следует, что $AA^{*}=\det{A}E$. Предположим, что все алгебраические дополнения кратны $\det{A}$. Тогда опять же из (*) следует (матрица обратима, можно разделить на значение определителя), что $AA^{*}=|E|$, значит $\det{A}=|1|$.

Так?

[ИСН]

Всё после второй строчки - лишнее. Если получается по-одному, зачем делать по-другому? Получится либо так же, либо неправильно.

[Munin]

ИСН в сообщении #1016665 писал(а):

Получится либо так же, либо неправильно.

Для учащегося - в этом иногда есть педагогическая польза. Он может найти "так же", но изложенное на другом языке. Например, вместо детально-комбинаторных соображений для матриц - абстрактно-геометрические. Это поможет ему представлять взаимосвязь между разными языками и точками зрения - для чего вообще полезно изучить как можно больше фактов и рассуждений на обоих языках.

2old в сообщении #1016662 писал(а):

Из (*) следует, что $AA^{*}=\det{A}E$.

Пишите со скобочками: $AA^*=(\det A)E.$ А то ваша запись читается иначе: $AA^*=\det(AE),$ что неверно (слева матрица, справа число; правда, иногда так пишут, подразумевая, что любое число умножается на единичную матрицу нужного размера).

[2old]

Munin, да, спасибо.
ИСН хотелось дорешать раз уж начал)