2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 определитель обратной и прямой целочисленных матриц
Сообщение18.05.2015, 10:07 


07/04/15
244
$A,A^{-1}\in M_{n}(\mathbb{Z})$ Какой возможный определитель?
Ясно, что из условия и $1=\det{E}=\det{A}\det{A^{-1}}$ следует $\det{A}\in\{-1,1\}$.
Но я сначала решать по-другому и застрял:
1. $A,A^{-1}\in M_{n}(\mathbb{Z})$, значит $\det{A}=\sum\limits_{\sigma\in S_n}\varepsilon^{\sigma}a_{1\sigma 1}\dots a_{n\sigma n}$, тоже целочисленный.
2. $A^{-1}=\frac{1}{\det{A}}A^{*}$

Здесь остается возможность, что все алгебраические дополнения будут кратны $\det{A}$.
$\delta_{ij}\det{A}=\sum\limits_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}$ (*)
Наверное, отсюда можно как-то показать, что этого не может быть, но у меня не получается.

-- 18.05.2015, 11:18 --

Из (*) следует, что $AA^{*}=\det{A}E$. Предположим, что все алгебраические дополнения кратны $\det{A}$. Тогда опять же из (*) следует (матрица обратима, можно разделить на значение определителя), что $AA^{*}=|E|$, значит $\det{A}=|1|$.

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель обратной и прямой целочисленных матриц
Сообщение18.05.2015, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Всё после второй строчки - лишнее. Если получается по-одному, зачем делать по-другому? Получится либо так же, либо неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель обратной и прямой целочисленных матриц
Сообщение18.05.2015, 13:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
ИСН в сообщении #1016665 писал(а):
Получится либо так же, либо неправильно.

Для учащегося - в этом иногда есть педагогическая польза. Он может найти "так же", но изложенное на другом языке. Например, вместо детально-комбинаторных соображений для матриц - абстрактно-геометрические. Это поможет ему представлять взаимосвязь между разными языками и точками зрения - для чего вообще полезно изучить как можно больше фактов и рассуждений на обоих языках.

2old в сообщении #1016662 писал(а):
Из (*) следует, что $AA^{*}=\det{A}E$.

Пишите со скобочками: $AA^*=(\det A)E.$ А то ваша запись читается иначе: $AA^*=\det(AE),$ что неверно (слева матрица, справа число; правда, иногда так пишут, подразумевая, что любое число умножается на единичную матрицу нужного размера).

 Профиль  
                  
 
 Re: определитель обратной и прямой целочисленных матриц
Сообщение18.05.2015, 15:04 


07/04/15
244
Munin, да, спасибо.
ИСН хотелось дорешать раз уж начал)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group