2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нахождение рациональных решений
Сообщение17.05.2015, 18:15 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Дано уравнение $$y^2=x^3+12(k^2+2^{2n-1}k+2^{4n-2})x$$ где $k, n$ натуральные числа.
Найдите хотя бы одно ненулевое рациональное решение этого уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение рациональных решений
Сообщение17.05.2015, 20:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть $x=t^2, y=tz$, тогда уравнение будет выглядит
$$z^2=t^4+12(k^+2^{2n-2})^2+6^2*(2^{2n-2})^2=t^4-(\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1})^4+((\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1})^2+3*2^{2n-1})^2.$$
Частное решение
$$t=\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1}, z=\frac{k^2}{2^{2n-2}}+2k+7*2^{2n-2}, x=t^2, y=tz.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нахождение рациональных решений
Сообщение17.05.2015, 21:01 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Да, это то, что имелось в виду.
Теперь, имея рациональный генератор, складывая точки на исходной кривой, можно получить бесконечно много рациональных решений.
(Эта задача появилась из моей соседней темы о системе 3 диофантовых уравнений 4 степени).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group