Нахождение рациональных решений

[scwec]

Дано уравнение

$$y^2=x^3+12(k^2+2^{2n-1}k+2^{4n-2})x$$

где $k, n$ натуральные числа.
Найдите хотя бы одно ненулевое рациональное решение этого уравнения.

[Руст]

Пусть $x=t^2, y=tz$, тогда уравнение будет выглядит

$$z^2=t^4+12(k^+2^{2n-2})^2+6^2*(2^{2n-2})^2=t^4-(\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1})^4+((\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1})^2+3*2^{2n-1})^2.$$

Частное решение

$$t=\frac{k}{2^{n-1}}+2^{n-1}, z=\frac{k^2}{2^{2n-2}}+2k+7*2^{2n-2}, x=t^2, y=tz.$$

[scwec]

Да, это то, что имелось в виду.
Теперь, имея рациональный генератор, складывая точки на исходной кривой, можно получить бесконечно много рациональных решений.
(Эта задача появилась из моей соседней темы о системе 3 диофантовых уравнений 4 степени).