Матрица якоби, дифференцируемость.

[Tosha]

Для функции $f(x,y,z)=(xy+z,xz+y)$ вычислите матрицу якоби в точке $M(1;-1;2)$

Дифференцируема ли функция в этой точке?

$$J=\begin{pmatrix} y& x & 1\\ z& 1 & x\\ \end{pmatrix}$$

Верно?

$$J(1;-1;2)=\begin{pmatrix} -1& 1 & 1\\ 2& 1 & 1\\ \end{pmatrix}$$

Правильно?

В ответ на вопрос -- дифференцируема можно ответить -- да, так как частные производные в точке $M$ существуют, и функция непрерывна в этой точке. Верно?

А если бы частные производные не существовали в точке $M$ (но функция была бы непрерывна в точке $M$), то функция не была бы дифференцируемой в точке $M$?

А если бы функция не была бы определена в точке $M$ (но при этом частные производные существовали бы), то функция не была бы дифференцируемой в точке $M$ ?

[ewert]

Tosha в сообщении #1015957 писал(а):

$$J=\begin{pmatrix} y& x & 1\\ z& 1 & x\\ \end{pmatrix}$$

Верно?

Да.

Tosha в сообщении #1015957 писал(а):

В ответ на вопрос -- дифференцируема можно ответить -- да, так как частные производные в точке $M$ существуют, и функция непрерывна в этой точке. Верно?

Нет.

[Tosha]

Спасибо!
А как тогда правильно определять дифференцируемость в данном случае?

[Tosha]

bot в сообщении #1013051 писал(а):

integral2009 в сообщении #1012747 писал(а):

Я так понимаю, что в первом пункте нужно просто взять посчитать частные производные

На то и пример, чтобы развеять заблуждение, что дифференцируемость - это существование частных производных.

Правильно ли я понимаю, что если функция имеет производную по направлению, которая не зависит от угла, значит она дифференцируема (независимо от того, существуют ли частные производные).

Чтобы функция была дифференцируемой, достаточно ли существования частных производных?

Если функция не имеет частных производных в некоторой точке, то как узнать -- дифференцируема ли она в ней?

[bot]

Неправильно понимаете. Во-первых (Вам уже говорили), производная по направлению от направления (угла) не зависит ну о-о-ч-ч-ень редко. Во-вторых, дифференцируемость - более сильное свойство, чем существование частных производных производных. Если функция дифференцируема в точке, то существуют производные по всем напрвлениям. Обратное неверно.

bot в сообщении #1013051 писал(а):

На то и пример, чтобы развеять заблуждение ...

Вы определение-то дифференцируемости знаете?

[Tosha]

Вот тут есть условия диф-сти. А вот определение там через приращения итп. http://mipt1.ru/file.php?f=2_matan&id=4

Правильно ли там написано?

-- 16.05.2015, 18:46 --

Я много определений прочитал, но так до конца не понял -- как установить дифференцируемость в какой-либо задаче. Определение понял.

-- 16.05.2015, 18:47 --

bot в сообщении #1015989 писал(а):

Неправильно понимаете. Во-первых (Вам уже говорили), производная по направлению от направления (угла) не зависит ну о-о-ч-ч-ень редко. Во-вторых, дифференцируемость - более сильное свойство, чем существование частных производных производных. Если функция дифференцируема в точке, то существуют производные по всем напрвлениям. Обратное неверно.

Если обратное неверно, то на практике это вряд ли пригодится, разве что просто проверить -- правильно ли определили, что функция дифференцируема.

[Tosha]

Если мы рассматриваем функцию нескольких переменных, как определить ее дифференцируемость?

Хотелось бы для примера две функции -- дифференцируемую и нет. Готов вычислить то, что нужно.

Я уже понял, что существование частных производных не обязывает функцию быть дифференцируемой.

-- 16.05.2015, 18:54 --

Как проверять необходимое условие -- я понял. http://mipt1.ru/file.php?f=2_matan&id=4
А как достаточное? По указанной ссылке как-то криво про достаточное условие написано.

Lia: см. post1016018.html#p1016018

[ewert]

Tosha в сообщении #1016003 писал(а):

Если мы рассматриваем функцию нескольких переменных, как определить ее дифференцируемость?

$f(\vec x+\vec h)=f(\vec x)+A\vec h+o(|\vec h|)$, где $A$ -- некоторая матрица соответствующего размера.

[Tosha]

А без о-малых реально ли проверить?

[mihailm]

Tosha в сообщении #1016003 писал(а):

...Как проверять необходимое условие -- я понял. http://mipt1.ru/file.php?f=2_matan&id=4
А как достаточное? По указанной ссылке как-то криво про достаточное условие написано.

Ну там похоже какой-то неграмотный переписывал текст с учебника или лекции.
Правильно: если частные производные непрерывны, то функция дифференцируема.

[bot]

(Оффтоп)

- Скажи служивый, я правильно на вокзал иду?
- Что ты, бабка - какой там правильно. Шаг не чеканишь, спину горбишь, отмашка никакая

Tosha в сообщении #1015996 писал(а):

Правильно ли там написано?

Где такое берёте - там даже и не по русски.
Возьмите нормальный учебник или хотя бы и вики посмотрите.

[Lia]

Объединены две темы.

Tosha
Замечание за дублирование вопроса.

[Brukvalub]

Tosha в сообщении #1015957 писал(а):

А если бы функция не была бы определена в точке $M$ (но при этом частные производные существовали бы), то функция не была бы дифференцируемой в точке $M$ ?

А вы определения учить не пробовали? Или проще бред здесь писать?

[bot]

Вчера не заметил.

mihailm в сообщении #1016011 писал(а):

Правильно: если частные производные непрерывны, то функция дифференцируема.

Это достаточное условие. Необходимым оно естественно не является, иначе можно было бы взять в качестве определения дифференцируемости.

[Tosha]

Хорошо, понятно, без о-малых не обойтись. Спасибо!