2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Дифференцируемость и производная вдоль направления угла.
Сообщение17.05.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость и производная вдоль направления угла.
Сообщение17.05.2015, 16:10 


20/03/14
12041
Tosha
В Вашей задаче
Tosha в сообщении #1015957 писал(а):
Для функции $f(x,y,z)=(xy+z,xz+y)$ вычислите матрицу якоби в точке $M(1;-1;2)$

Дифференцируема ли функция в этой точке?

$$J=\begin{pmatrix}
 y& x & 1\\
 z& 1 & x\\ 
\end{pmatrix}$$
...

частные производные непрерывны.

Этого достаточно.

В других случаях бывает необходимость смотреть по-другому.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференцируемость и производная вдоль направления угла.
Сообщение17.05.2015, 17:40 


10/09/13
210
bot в сообщении #1016454 писал(а):
Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

А совпадение результатов докажет ли дифференцируемость?

-- 17.05.2015, 17:42 --

Lia в сообщении #1016457 писал(а):
Tosha

В других случаях бывает необходимость смотреть по-другому.



По-другому -- это так?

bot в сообщении #1016454 писал(а):
Почему не обойтись? Считаем производную в точке $x^0$ по направлению какого-нибудь единичного вектора $e$ непосредственно и по формуле $\frac{\partial f(x^0)}{\partial e}=\operatorname{grad}f(x^0)\cdot e$, которая является следствием дифференцируемости. Различие результатов докажет недиффирунцируемость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение17.05.2015, 17:48 


20/03/14
12041
Tosha в сообщении #1016496 писал(а):
А совпадение результатов докажет ли дифференцируемость?

Нет. Собственно, это же отвечает и на Ваш второй вопрос. Почитайте учебник, пожалуйста, упорядочить две-три теоремы и пару определений из начала раздела "Дифференцируемость" вполне подъемная задача. А то уже сколько времени в трех соснах можно блуждать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение18.05.2015, 03:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Lia в сообщении #1016018 писал(а):
Объединены две темы.

Объединять без осознанности -- вредно. Я вот уже давно перестал понимать, что, кому и на что тут отвечает.

Разве что слава аллаху, что в это ветке этого понимать и не обязательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение18.05.2015, 03:58 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1016630 писал(а):
Объединять без осознанности -- вредно.

А вот это уже экстремизм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение18.05.2015, 05:41 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

ewert
Спасибо за конструктивную критику в неподобающем разделе.
Не моя вина, что ТС была продублирована одна и та же серия вопросов в трех местах, и разные люди в трех местах повторяли на все лады одно и то же. Объединение было произведено с единственной целью освободить участников от этой почетной повинности. Ни одна из основных тем содержательно при этом не пострадала, в связи с тем, что содержание как таковое отсутствует.
В следующий раз просьба оставлять свои замечания в разделе "Работа форума" или присылать в ЛС. Благодарю заранее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение18.05.2015, 15:17 


10/09/13
210
Я почитал Фихтенгольца (см в оффтопе), так и не нашел ответ на вопрос: "Как исследовать дифференцируемость в точке, если хотя бы одна из частных производных имеет разрыв в этой точке.".

(Оффтоп)

Изображение
Изображение
Изображение
Изображение
Изображение


Почитал также википедию, там тоже не нашел ответа на этот вопрос.

В конспекте лекций Письменного -- тоже не нашел ответа на этот вопрос.

Я понимаю, что функция дифференцируема, если ее приращение представимо в соответствущем виде.

Если функция не дифференцируема, то нужно тогда будет доказать, что нельзя представить в нужном виде приращение, а вот как это делать -- мне не очевидно. Потому я и спрашиваю -- как на практике это делается;) Спасибо за терпение тем, кто читает и извините за занудство мое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение18.05.2015, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Tosha в сообщении #1016775 писал(а):
Если функция не дифференцируема, то нужно тогда будет доказать, что нельзя представить в нужном виде приращение, а вот как это делать -- мне не очевидно.
В учебных задачах отсутствие нужного разложения обычно получают рассуждением "от противного".

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение19.05.2015, 00:29 


10/09/13
210
А можете дать какую-то простенькую задачку на отсутсвие дифференцируемости?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение19.05.2015, 00:36 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Tosha
1) $f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{ если }xy=0;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Проверить дифференцируемость в начале координат.

2) $f(x)=\|x\|,\; x\in\mathbb R^n$

То же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение19.05.2015, 05:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Lia в сообщении #1016644 писал(а):
Не моя вина, что ТС была продублирована одна и та же серия вопросов в трех местах

Это я виноват - спутал с integral2009. От меня и поехало ...
Стартовый пример в той теме тоже простой. Первый из примеров от Otta ещё проще, к тому же он демонстрирует, что существование частных производных не обеспечивает даже непрерывности и тем более - дифференцируемости.

-- Вт май 19, 2015 09:40:23 --

Решил не удержаться - не обеспечивает непрерывности даже существование частных производных в любом направлении. Но это уже следующий этап.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение22.05.2015, 22:52 


10/09/13
210
Otta в сообщении #1017001 писал(а):
Tosha
1) $f(x,y)=\begin{cases}1,&\text{ если }xy=0;\\0,&\text{иначе}\end{cases}$
Проверить дифференцируемость в начале координат.

2) $f(x)=\|x\|,\; x\in\mathbb R^n$

То же.


1) $f'_x=0=f'_y$. Но функция имеет разрыв в начале координат. Потому она недифференцируема. Верно?

2) $f'_{x_i}=\dfrac{x_i}{\|x\|}$

Разрыв у всех частных производных в начале координат. Потому недифференцируема.

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение22.05.2015, 23:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Было бы хорошо, если бы Вы указывали точку, в которой считаете частные производные. Что в первом случае, что во втором.
Tosha в сообщении #1018530 писал(а):
Разрыв у всех частных производных в начале координат.

Обосновать сможете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрица якоби, дифференцируемость.
Сообщение22.05.2015, 23:43 


10/09/13
210
В первом случае $f'_x=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{0-1}{h}=\infty=f'_y$

Тогда недифференцирума в нуле, верно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 39 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group