Индексные обозначения и преобразования Лоренца

[qftlearner]

Стыдно задавать такой вопрос, но все же надоело каждый раз к этому возвращаться ps:
Следуя, например, первому тому Вайнберга... Известно, что преобразования Лоренца удовлетворяют $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ или в индексных обозначениях $\Lambda^{\mu}_{~\rho} \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\nu}_{~\sigma} = \eta^{\rho \sigma}$. Из самого вида матрицы $\Lambda$ ясно, что она симметричная $\Lambda = \Lambda^T$. Непонятно, как это и $\Lambda^{\mu}_{~\rho} \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\nu}_{~\sigma} = \eta^{\rho \sigma}$ согласуется с $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$, ведь нельзя же написать $\Lambda^{\mu}_{~\rho} = \left(\Lambda^T\right)^{\rho}_{~\mu}$, потому что, хотя теперь второй индекс суммируется с первым индексом следующей матрицы как это и должно быть при матричном умножении, оба эти индекса становятся нижними, по которым суммирование в наших обозначениях не проводится.

В тоже время, такой неразберихи не возникает для матрицы обратной $\Lambda$, т.е. $\Lambda^{-1}$, когда для нее пишут $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\rho}_{~\nu} = \Lambda_{\nu}^{~\rho} \equiv \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}_{~\sigma}\eta^{\rho \sigma}$, меняя порядок следования верхнего и нижнего индексов. Теперь ввиду симметричности $\eta$ всегда можно расставить индексы так, что второй индекс предыдущей матрицы будет сворачиваться с первым индексом следующей, причем всегда верхний индекс сворачивается с нижним. Поэтому последнее уравнение в матричной форме выглядит так: $\Lambda^{-1} = \eta \Lambda \eta^{-1}$. Это матричное уравнение вместе с $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ дает $\Lambda^T = \Lambda$.

-- 16.05.2015, 06:27 --

Хотя есть книжки (Рубаков, Классические калибровочный поля), где вообще отказываются от использования верхних/нижних индексов и пишут везде нижние. В таких обозначениях, конечно, и путаницы не возникает, и жить хорошо.

[vanger]

qftlearner в сообщении #1015858 писал(а):

Известно, что преобразования Лоренца удовлетворяют $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$

А откуда это известно? Потому что мне, например, это известно из закона преобразования тензоров, записанного в индексах:

$$ \eta'_{\mu\nu} \frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\rho} \frac{\partial x'^\nu}{\partial x^\sigma} = \eta_{\rho\sigma}. $$

Теперь, заметив, что мы ищем такое линейное преобразование, при котором $\eta$ не меняется, мы и получаем

$$ \eta_{\mu\nu} \Lambda^\mu{}_\rho \Lambda^\nu{}_\sigma = \eta_{\rho\sigma}. $$

При желании, это можно упаковать в матричный вид, заметив, что $(AB)^i{}_j = A^i{}_k B^k{}_j$ и $(A^T)^i{}_j = A^j{}_i$.

[g______d]

qftlearner в сообщении #1015858 писал(а):

Из самого вида матрицы $\Lambda$ ясно, что она симметричная $\Lambda = \Lambda^T$.

Не бывает такого, чтобы в некоммутативной матричной группе все матрицы были симметричными.

[Munin]

Это может быть ошибка, если глядеть на 2-мерные преобразования Лоренца - они действительно симметричные и коммутативные. Но в 4-мерные входят, в том числе, пространственные повороты, а у них антисимметричная пространственная часть.

Вообще матрицы из $\mathrm{SO}(n)$ (аналогично из $\mathrm{SU}(n),\mathrm{SO}(p,q)$) ни симметричные, ни антисимметричные. Они являются экспонентами от матриц, обладающих определённой симметрией, например, $U=e^{iH},$ где $H=H^+$ - комплексно-симметричная (эрмитова); $O=e^{A},$ где $A=-A^\mathrm{T}$ - действительная антисимметричная. Есть красивая образная аналогия: симметричные и эрмитовы матрицы подобны представителям действительной прямой, антисимметричные и антиэрмитовы - представителям мнимой прямой, а ортогональные и унитарные - представителям единичной окружности на комплексной плоскости. Она поможет понять некоторые соотношения, хотя не все.

-- 16.05.2015 14:51:02 --

И по поводу нотации: для матриц важнее, что является строками, а что столбцами, а какими буквами называются соответствующие индексы - это вторично. Когда вы выписываете в компонентах, что значит длинное матричное произведение, вы обращаете внимание только на строки и столбцы. А для тензоров наоборот, важны буквы, обозначающие индексы - именно глядя на индексы, вы выписываете в компонентах то, что значит тензорное произведение. Поэтому, когда для тензора меняют порядок следования первого и второго индексов (сейчас не важно, что один из них верхний, а другой - нижний), это то же самое, что для матрицы транспонирование. А вот операция взятия обратного - в терминах индексов не выражается.

[qftlearner]

vanger в сообщении #1015902 писал(а):

А откуда это известно?

из того, что это единственные несингулярные преобразования координат, оставляющие интервал инвариантным.

vanger в сообщении #1015902 писал(а):

При желании, это можно упаковать в матричный вид, заметив, что $(AB)^i{}_j = A^i{}_k B^k{}_j$ и $(A^T)^i{}_j = A^j{}_i$.

вы вообще читали что я написал? Упаковал и я так же, только вы теперь сворачиваете два нижних индекса. Кроме того, теперь индекс $\rho$ --- верхний в левой части уравнения и нижний в правой части (кстати, у меня там описка, в правой части уравнения все индексы должны быть нижними). В этом и был вопрос, правомерно ли это делать.

g______d в сообщении #1015903 писал(а):

Не бывает такого, чтобы в некоммутативной матричной группе все матрицы были симметричными.

спасибо, по делу. Я понимаю, что не все. Но почему из $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ и $\Lambda^{-1} = \eta \Lambda \eta^{-1}$, где нигде не предполагалось $\Lambda^T = \Lambda$, получается это равенство как следствие?

Munin в сообщении #1015937 писал(а):

Это может быть ошибка, если глядеть на 2-мерные преобразования Лоренца - они действительно симметричные и коммутативные. Но в 4-мерные входят, в том числе, пространственные повороты, а у них антисимметричная пространственная часть.

Да, спасибо. Но все же, как объяснить появление $\Lambda^T = \Lambda$ из $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ и $\Lambda^{-1} = \eta \Lambda \eta^{-1}$, причем последние уравнение (для $\Lambda^{-1}$) тоже выводится из $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$?

Munin в сообщении #1015937 писал(а):

Есть красивая образная аналогия: симметричные и эрмитовы матрицы подобны представителям действительной прямой, антисимметричные и антиэрмитовы - представителям мнимой прямой, а ортогональные и унитарные - представителям единичной окружности на комплексной плоскости. Она поможет понять некоторые соотношения, хотя не все.

красиво, спасибо.

Munin в сообщении #1015937 писал(а):

Поэтому, когда для тензора меняют порядок следования первого и второго индексов (сейчас не важно, что один из них верхний, а другой - нижний), это то же самое, что для матрицы транспонирование.

т.е., все-таки, когда мы записываем $\Lambda^{\mu}_{~\rho} \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\nu}_{~\sigma} = \eta_{\rho \sigma}$ в виде $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$, мы сворачиваем два нижних индекса? Почему это правомерно?

Munin в сообщении #1015937 писал(а):

А вот операция взятия обратного - в терминах индексов не выражается.

что тогда есть $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\rho}_{~\nu} = \Lambda_{\nu}^{~\rho} \equiv \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}_{~\sigma}\eta_{\rho \sigma}$?

[Munin]

qftlearner в сообщении #1016048 писал(а):

Но все же, как объяснить появление $\Lambda^T = \Lambda$ из $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$ и $\Lambda^{-1} = \eta \Lambda \eta^{-1}$, причем последние уравнение (для $\Lambda^{-1}$) тоже выводится из $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$?

Никак. Вторая формула ($\Lambda^{-1}=\eta\Lambda\eta^{-1}$) - ошибка. А первая - просто дефиниция ортогональной матрицы по скалярному произведению $\eta.$ Ср. $O^\mathrm{T}O=1.$

qftlearner в сообщении #1016048 писал(а):

т.е., все-таки, когда мы записываем $\Lambda^{\mu}_{~\rho} \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\nu}_{~\sigma} = \eta_{\rho \sigma}$ в виде $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$, мы сворачиваем два нижних индекса?

Нет, конечно. Сворачиваются только одноимённые:

$$\text{\huge\[\Lambda^{\underline{\mu}}{}_{\rho}\,\eta_{\underline{\mu}\,\,\underline{\underline{\nu}}}\,\Lambda^{\underline{\underline{\nu}}}{}_{\sigma}=\eta_{\rho\sigma}.\]}$$

А вот чтобы изобразить, что у первого множителя со вторым сворачивается его первый индекс, а не второй, его приходится в матричной нотации транспонировать. Вот и получается $\Lambda^\mathrm{T}\eta\Lambda=\eta.$

qftlearner в сообщении #1016048 писал(а):

что тогда есть $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\rho}_{~\nu} = \Lambda_{\nu}^{~\rho} \equiv \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}_{~\sigma}\eta_{\rho \sigma}$?

Это вычисление $(\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\nu}.$ Для ортогональных матриц (по евклидовой метрике) это выглядело бы так: $O^\mathrm{T}O=1\quad\Longrightarrow\quad O^{-1}=O^\mathrm{T}.$ А здесь надо ещё правильно поднять и опустить индексы при помощи метрического тензора: $\Lambda^{-1}=(\eta\Lambda\eta^{-1})^\mathrm{T}.$ Но пропускать транспонирование нельзя. (И кстати, у вас формула записана с ошибкой: $(\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\nu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\rho\sigma}.$ Матрицы $\eta_{\mu\nu}$ и $\eta^{\mu\nu}$ в неортогональном базисе совершенно разные, поэтому такая ошибка чревата неверным вычислением - это у вас получилась как раз незаконная свёртка двух нижних индексов.)

[qftlearner]

Munin в сообщении #1016067 писал(а):

Никак. Вторая формула ($\Lambda^{-1}=\eta\Lambda\eta^{-1}$) - ошибка.

$(\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\nu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\rho\sigma} = \eta_{\nu\mu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\sigma\rho}$, откуда $\Lambda^{-1}=\eta\Lambda\eta^{-1}$. Где здесь ошибка? Метрика Минковского симметрична, поэтому индексы можно переставить местами. При этом мы не меняем верхние и нижние индексы местами, как это неявно делаем с $\Lambda^T$ при переходе от уравнения с индексами к уравнению $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$!

Munin в сообщении #1016067 писал(а):

А вот чтобы изобразить, что у первого множителя со вторым сворачивается его первый индекс, а не второй, его приходится в матричной нотации транспонировать. Вот и получается $\Lambda^\mathrm{T}\eta\Lambda=\eta.$

Вот это мне и не понятно! Я это "чтобы изобразить" машинально делал до поры до времени, а потом задумался. Ну нельзя же писать $\Lambda^{\mu}_{}_{\nu} = \left(\Lambda^T\right)^{\nu}_{}_\mu$, чтобы подогнать второй индекс первой матрицы под первый индекс следующей, потому что нельзя менять верхний и нижние индексы в одной части уравнения и не менять их в другой, как и нельзя сворачивать два нижних индекса ($\mu$ в этом случае).
Поэтому, опять же ( ) как мы можем писать что $\Lambda^{\mu}_{}_{\rho} \eta_{\mu \nu}\Lambda^{\nu}_{}_{\sigma} = \eta_{\rho \sigma}$ в матричной форме будет $\Lambda^T \eta \Lambda = \eta$, если по своему матричному смыслу операция транспонирования --- это перестановка строк и столбцов, которая, если у нас есть верхние и нижние индексы, меняет эти индексы местами, что неправомерно делать только в одной части уравнения/в одном члене уравнения.

Munin в сообщении #1016067 писал(а):

А здесь надо ещё правильно поднять и опустить индексы при помощи метрического тензора: $\Lambda^{-1}=(\eta\Lambda\eta^{-1})^\mathrm{T}.$ Но пропускать транспонирование нельзя.

Вот если вы объясните как вы получили $\Lambda^{-1}=(\eta\Lambda\eta^{-1})^\mathrm{T}$, для меня, наверное, многое прояснится.

Munin в сообщении #1016067 писал(а):

И кстати, у вас формула записана с ошибкой: $(\Lambda^{-1})^{\rho}{}_{\nu}=\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\rho\sigma}.$ Матрицы $\eta_{\mu\nu}$ и $\eta^{\mu\nu}$ в неортогональном базисе совершенно разные, поэтому такая ошибка чревата неверным вычислением - это у вас получилась как раз незаконная свёртка двух нижних индексов.

Это описка, это все я как раз понимаю.

[Утундрий]

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

нельзя менять верхний и нижние индексы в одной части уравнения и не менять их в другой, как и нельзя сворачивать два нижних индекса

Оно конечно. Но ежели очень хочется... Если использовать представление компонент в виде матрицы для одной только цели - вычислить некоторую свёртку, то оно и вполне себе допустимо.

[Munin]

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

Где здесь ошибка?

Я вам уже написал правильную формулу: ошибка на транспонирование.

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

Метрика Минковского симметрична

А вот преобразование Лоренца - нет. И метрика Минковского хоть и симметрична, но переставлять $\eta$ и $\eta^{-1}$ тоже нельзя (в неортогональном базисе это разные матрицы).

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

При этом мы не меняем верхние и нижние индексы местами, как это неявно делаем с $\Lambda^T$

Вот ваша ошибка! При транспонировании меняются местами не верхний и нижний индексы, а первый и второй.

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

Вот это мне и не понятно! :D Я это "чтобы изобразить" машинально делал до поры до времени, а потом задумался.

Ну вот в этом вашем "машинально" и заложено было сколько-то ошибок.

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

Ну нельзя же писать $\Lambda^{\mu}_{}_{\nu} = \left(\Lambda^T\right)^{\nu}_{}_\mu$

Да, разумеется, причём по куче причин.

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

если по своему матричному смыслу операция транспонирования --- это перестановка строк и столбцов, которая, если у нас есть верхние и нижние индексы, меняет эти индексы местами

Нет.

Смотрите. У символа $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ индексы различаются по смыслу по тому, где они стоят. Второй индекс - "входной", к нему цепляется 4-вектор пространства Минковского. Первый индекс - "выходной", он остаётся после сворачивания $a'^\mu=\Lambda^{\mu}{}_{\nu}a^\nu.$ Если мы хотим преобразовать ковектор, то соответственно, должны первый индекс опустить, а второй поднять, но их "назначение" остаётся прежним. И наконец, когда преобразуем тензор, то цепляем $\Lambda^{\mu}{}_{\nu}$ к каждому индексу - в правильном порядке.

Перемещение индекса вверх или вниз - это умножение на $\eta_{\mu\nu}$ или $\eta^{\mu\nu}$ по смыслу.
Перемена местами первого и второго индексов - это транспонирование матрицы.

А то, что вы назвали - это что-то ни то, ни другое.

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

Вот если вы объясните как вы получили $\Lambda^{-1}=(\eta\Lambda\eta^{-1})^\mathrm{T}$, для меня, наверное, многое прояснится.

Смотрю на цепочку $\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\rho\sigma}.$ Она равна $\eta_{\nu\mu}\Lambda^{\mu}{}_{\sigma}\eta^{\sigma\rho}$ из-за симметрии метрического тензора. Теперь все индексы упорядочены в порядке "последний с первым", и мы можем записать это как цепочку матриц: $\eta\Lambda\eta^{-1}.$ Но у всего выражения получается индекс ${}^\cdot_\nu$ в начале, и ${}^\rho_\cdot$ в конце - наоборот по сравнению с левой частью равенства. Значит, надо "развернуть" - это и есть транспонирование.

[Nirowulf]

qftlearner в сообщении #1015858 писал(а):

ведь нельзя же написать $\Lambda^{\mu}_{~\rho} = \left(\Lambda^T\right)^{\rho}_{~\mu}$, потому что, хотя теперь второй индекс суммируется с первым индексом следующей матрицы как это и должно быть при матричном умножении, оба эти индекса становятся нижними, по которым суммирование в наших обозначениях не проводится.

Вы, имхо, как-то странно это делаете. Как уже упомянул Munin, важен не верх-низ, а порядок индексов т.е. то, что первый индекс нумерует строки, а второй столбцы, как обычно принято. И у вас первый индекс сворачивается с первым т.е. строка со строкой, это значит, что в матричной записи там транспонирование.

Тогда

$$(\Lambda^T)^{\phantom{\rho} \mu}_{\rho}=\Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu }\rho},$$

$$\Lambda^T \eta \Lambda=\eta \Leftrightarrow \Lambda^{\mu}_{\phantom{\mu }\rho}\eta_{\mu \nu} \Lambda^\nu_{\phantom{\nu }\sigma}=\eta_{\rho \sigma}\Leftrightarrow (\Lambda^T)^{\phantom{\rho} \mu}_{\rho}\eta_{\mu \nu} \Lambda^\nu_{\phantom{\nu} \sigma}=\eta_{\rho \sigma}.$$

qftlearner в сообщении #1016110 писал(а):

откуда $\Lambda^{-1}=\eta\Lambda\eta^{-1}$. Где здесь ошибка?

Вы транспонирование потеряли.

Мы знаем, что по определению преобразований Лоренца

$$\Lambda^T \eta \Lambda=\eta. \eqno (1)$$

Применим к этому равенство операцию "-1"

$$\Lambda^{-1} \eta \Lambda^{-1T}=\eta. \eqno (2)$$

Умножая $(1)$ слева на $\Lambda^{-1T},$ а справа на $\Lambda^{-1},$ получим

$$\eta=\Lambda^{-1T}\eta \Lambda^{-1}. \eqno (3)$$

Проведя аналогичный трюк с $(2),$ находим

$$\eta=\Lambda \eta \Lambda^T. \eqno (4)$$

Соотношения $(1)-(4)$ говорят о том, что $\Lambda^T, \Lambda^{-1}, \Lambda^{-1T}$ также являются преобразованиями Лоренца. Теперь умножим $(2)$ справа на $\Lambda^T \eta.$ Получим

$$\Lambda^{-1}=\eta \Lambda^T \eta,$$

а не ваше соотношение

$$\Lambda^{-1}=\eta \Lambda \eta$$

З.Ы. У меня $\eta=\eta^{-1}.$

[qftlearner]

Munin, Nirowulf, хорошо, вы неявно использовали $\left(\Lambda^T\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$. Я думал, что так писать неправомерно. Теперь объясните, пожалуйста, почему так можно писать, если, в тоже время, $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\mu}_{}_{\nu} = \Lambda_{\nu}^{}^{\mu}$, но $\Lambda^{-1} \neq \Lambda^T$.

[Munin]

Чёрт, похоже, я сам где-то напортачил.

[qftlearner]

Munin в сообщении #1016246 писал(а):

Чёрт, похоже, я сам где-то напортачил.

Теперь мне хоть меньше стыдно стало спрашивать

Я вот что думаю, в правиле преобразования ковектора (например $\partial_{\mu}$) точно стоит обратная матрица $\Lambda^{-1}$, а не транспонированная $\Lambda^T$:
$\partial_{\mu'} = \left(\Lambda^{-1}\right)^{\nu}_{}_{\mu'} \partial_{\nu} = \Lambda_{\mu'}^{}^{\nu}\partial_{\nu}$
Так что $\left(\Lambda^{-1}\right)^{\bullet}_{}_{\bigstar} = \Lambda_{\bigstar}^{}^{\bullet}$ и $\left(\Lambda^T\right)^{\bullet}_{}_{\bigstar} = \Lambda_{\bigstar}^{}^{\bullet}$ работают по отдельности, а вот вместе какая-то чепуха получается.

[Kirill_Sal]

qftlearner
Я тоже недавно начал читать книгу Вайнберга. Дело в том, что читая его, надо забыть про геометрию; в его записи формул есть только верхние и нижние индексы, но нет таких объектов, как 1-формы (ковекторы) и векторы.

qftlearner в сообщении #1016248 писал(а):

Munin в сообщении #1016246 писал(а):

Чёрт, похоже, я сам где-то напортачил.

Теперь мне хоть меньше стыдно стало спрашивать

Я вот что думаю, в правиле преобразования ковектора (например $\partial_{\mu}$) точно стоит обратная матрица $\Lambda^{-1}$, а не транспонированная $\Lambda^T$:
$\partial_{\mu'} = \left(\Lambda^{-1}\right)^{\nu}_{}_{\mu'} \partial_{\nu} = \Lambda_{\mu'}^{}^{\nu}\partial_{\nu}$

1) Это не ковектор;

2) В правиле преобразования ковектора фигурирует как раз транспонированная матрица, а не обратная;

3) Также обратите внимание на то, что $\delta_{\alpha\beta}$ - не то же самое, что $\eta_{\alpha\beta}$. Отсюда по-видимому вся Ваша путаница с обратной и транспонированной матрицей.

Вообщем, советую не пытаться конкурировать с Вайнбергом в способах записи формул, а тупо выверять вслед за ним алгебру.

[qftlearner]

Kirill_Sal в сообщении #1016252 писал(а):

1) Это не ковектор;
2) В правиле преобразования ковектора фигурирует как раз транспонированная матрица, а не обратная;

эти два утверждения неверны. Смотрите, например, здесь.

Kirill_Sal в сообщении #1016252 писал(а):

3) Также обратите внимание на то, что $\delta_{\alpha\beta}$ - не то же самое, что $\eta_{\alpha\beta}$.

ну вы меня за идиота не принимайте, ОК?

Kirill_Sal в сообщении #1016252 писал(а):

Отсюда по-видимому вся Ваша путаница с обратной и транспонированной матрицей.

нет, не отсюда. И, по-видимому, не только у меня.