Решение задачи по оптике. Бред или не бред?

[tech]

Здравствуйте.
Сегодня на контрольной попалась задача, которую я не смог решить:
"Импульс линейно поляризованного монохроматического света падает нормально на кристалл длиной $l=10\ cm$. Показатель преломления кристалла меняется по закону $n=n_0+\alpha t,\ \alpha=3\cdot10^{-8}\ s^{-1}$. Найти отношение длительности импульса на выходе из кристалла к первоначальной длине импульса ${\Delta t'}/{\Delta t}$ и отношение средних частот $\omega'/\omega$. "

Начало предложенного преподавателем решения было таким:
"Рассмотрим крайнюю точку ("начало") импульса. И для неё пишем:

$$n_0+\alpha t=n=c\ \frac{dt}{dx}$$

Интегрируем это и получаем:

$$x-A=\frac{c}{\alpha}\ln{n_0+\alpha t}$$

Рассматриваем другую крайнюю точку ("конец") импульса. Она зашла в кристалл на $\Delta t$ позже..."
Дальше преобразования, из которых находится $\Delta t'/\Delta t$, а потом утверждается: "частоты будут относиться как $(\Delta t'/\Delta t)^{-1} $ "

Помогите, пожалуйста, ответить на следующие вопросы:
1. Как и почему мы можем рассматривать "правую крайнюю точку" и "левую крайнюю точку"? Это так не очевидно, что меня терзают сомнения, а правильно ли это вообще? Это же импульс (раскладывающийся по плоским волнам разных частот), а не набор летящих друг за другом точек со скоростями $c/n(t)$.
2. Почему из того, что длительности импульсов относятся $\Delta t'/\Delta t$ следует, что частоты относятся как обратная величина? Соотношение неопределенностей вроде связывает длительность импульса и $\Delta \omega$ - "ширину" спектра?

[Munin]

Видимо, подразумеваются такие соотношения между величинами (форма импульса, длительность его передних и задних фронтов, например), при которых эти приближения работают.

[Xey]

Если сложить эти "волны разных частот " , то получится синусоида с нарастающей и затем спадающей амплитудой. Это и есть импульс, можно считать, что с некоторого уровня он начинается и на этом же уровне кончается.
За время прохождения импульса показатель прреломления кристалла менется. Значит конец импульса распространяется быстрее или медленнее начала. Т.е. импульс укорачивается или удлиняется. Ну и волны разных частот, составляющие импульс, тоже укорачиваются или удлиняются.

[tech]

Буду рад, если кто-нибудь проверит мои рассуждения и укажет ошибки, если они есть. Старался писать как можно подробнее.
Эти рассуждения не привели меня к ответу, к которому приводят рассуждения, о которых я писал в первом посте.

Рассмотрим сигнал в точке пространства перед кристаллом.
Пусть $a(t)$ - закон модуляции (огибающая сигнала).
Представим $a(t)$ следующим образом:

$$a(t)=\int A(\Omega)e^{i\Omega t}d\Omega$$

Тогда сам сигнал можно записать так (обычно ведь период несущей много меньше промежутка времени, на котором меняется огибающая):

$$f(t)=a(t)e^{i\omega_0 t}=\int A(\Omega)e^{i(\omega_0+\Omega)t} d\Omega=\bigg|\omega=\omega_0+\Omega \bigg|=\int A(\omega-\omega_0)e^{i\omega t}d\omega=\int C(\omega)e^{i\omega t}d\omega$$

$\omega_0$ – частота несущей. Ещё я осуществил замену переменных в процессе.

Таким образом, импульс представлен как совокупность волн различной частоты. Если представить, как эти волны выглядят (в фиксированный момент времени), то получится такая картина: много синусоид, которые идут-идут, в кристалле сужаются, а после кристалла идут так же, как шли до него.

Посмотрим, что произошло с какой-то волной по выходе из кристалла. Волна на выходе выглядит так:

$$C(\omega)e^{i\omega t}e^{-ik\Delta}d\omega=C(\omega)e^{i\omega t}e^{-i\frac{\omega}{c}n(t)\Delta}d\omega,\ n(t)=n_0+\alpha t$$

$\Delta$ - длина кристалла.

Суммируя, получаем сигнал на выходе:

$$f_{out}(t)=\int C(\omega)\exp(i\omega t)\exp(-i\frac{\omega}{c}n_0 \Delta)\exp(-i\frac{\omega}{c}\alpha t \Delta)d\omega$$

Пользуемся тем, что $\omega=\omega_0+\Omega,\ C(\omega)=A(\omega-\omega_0)=A(\Omega)$. Таким образом, переходим заодно к интегрированию по $d\Omega$:

$$f_{out}(t)=\int A(\Omega)e^{i(\omega_0+\Omega)t}e^{-i\frac{\omega_0}{c}n_0\Delta}e^{-i\frac{\Omega}{c}n_0\Delta}e^{-i\frac{\omega_0}{c}\alpha t \Delta}e^{-i\frac{\Omega}{c}\alpha t \Delta} d\Omega $$

Выносим некоторые экспоненты из-под знака интеграла, а под интегралом выносим $\Omega$ за скобку в показателе степени:

$$f_{out}(t)=\exp\bigg[{it\omega_0(1-\frac{\alpha}{c}\Delta)}\bigg]\exp\bigg(-i\frac{\omega_0}{c}n_0\Delta\bigg) \int A(\Omega)\exp\bigg[i\Omega(t-\frac{\alpha\Delta}{c}t-\frac{n_0\Delta}{c})\bigg]d\Omega=$$

$$=\exp\bigg[{it\omega_0(1-\frac{\alpha}{c}\Delta)}\bigg]\exp\bigg(-i\frac{\omega_0}{c}n_0\Delta\bigg)\cdot a\bigg(t(1-\frac{\alpha\Delta}{c})-\frac{n_0\Delta}{c}\bigg)$$

В скобках при $a$ указан аргумент.

Таким образом, первая экспонента отвечает за частоту несущей (среднюю частоту), и эта самая частота изменилась. Вторая экспонента вносит несущественный постоянный сдвиг фаз. А форма огибающей, выходит, не изменилась.

[Munin]

Если здесь вычислительных ошибок нет (не проверял), то похоже на правду.

[amon]

А мне вообще эта задача не нравится. У нас оптика, стало быть надо плясать от уравнений Максвелла:

$$ \begin{align} \operatorname{rot}E&=-\frac{1}{c}\frac{\partial B}{\partial t}\\ \operatorname{rot}B&=\frac{1}{c}\frac{\partial D}{\partial t}\\ \operatorname{div}D&=0\\ \operatorname{div}B&=0 \end{align} $$

Про показатель преломления эти уравнения ничего не знают, посему примем гипотезу, что $n=\sqrt{\varepsilon\mu}$, и положим $\mu=1$ (в оптике это всегда можно сделать). Тогда проделав стандартную процедуру взятия ротора от первого уравнения получим с учетом $D=\varepsilon E$

$$ \Delta E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 (\varepsilon E)}{\partial t^2}=0 $$

Подставив $\varepsilon= (n_0+\alpha t)^2$ и сделав замену переменных $\tau=n_0+\alpha t$ получим

$$ \Delta E-\frac{1}{c^2}\alpha^2\left(2E+4\tau \frac{\partial E}{\partial \tau}+\tau^2\frac{\partial^2 E}{\partial \tau^2}\right)=0 $$

Все члены в круглых скобках имеют одинаковый порядок малости, и привести это уравнение к волновому, IMHO, нет возможности. Плоские волны, очевидно, не являются частными решениями (даже приближенными) и все рассуждения, на которых построено решение (как исходное, так и ТС) летят в тартарары. Может, есть какой затейливый способ введения показателя преломления, зависящего от времени, позволяющий этой неприятности избежать, но у меня он сходу не придумался.

[tech]

Вот это поворот!
Только я не понял, как понять, что $E(\tau)$ и $\tau \frac{\partial E}{\partial \tau}$ имеют одинаковый порядок малости, не зная, как выглядит $E(\tau)$.

(Оффтоп)

Мне эта задача тоже сразу не понравилась. Хотя, казалось бы, она и предполагает простое (но, кажется, лишенное отношения к действительности) решение.

[amon]

tech в сообщении #1016866 писал(а):

имеют одинаковый порядок малости

При составлении задачи, видимо, предполагалось, что в ней есть "быстрые" и "медленные" переменные, для чего указывалось, что $ \alpha=3\cdot10^{-8}\ s^{-1}$, т.е. много меньше оптических частот. Однако, как мне кажется, такое предположение неверно, поскольку в уравнении нет членов без $ \alpha$, но с $\omega$.

[tech]

amon в сообщении #1016869 писал(а):

При составлении задачи, видимо, предполагалось, что в ней есть "быстрые" и "медленные" переменные, для чего указывалось, что $ \alpha=3\cdot10^{-8}\ s^{-1}$, т.е. много меньше оптических частот

Насколько я помню, при решении этой задачи преподавателем факт этот не использовался (а он, скорее всего, и является автором этой задачи, хотя не берусь утверждать).
В общем, таки бред?

[amon]

tech в сообщении #1016872 писал(а):

при решении этой задачи преподавателем факт этот не использовался

Он использовался неявно, когда считалось, что каждый "кусочек" волнового пакета можно рассматривать независимо, и для разных кусочков будут разные показатели преломления, т.е. можно написать что-то вроде

$$ \Delta E-\frac{n^2(t)}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0 ,$$

где $n(t)$ - медленно меняющаяся функция.

[Munin]

amon
Я подумывал разложить кристалл по Фурье. Но щас не успеваю додумать. Может, у вас получится?

[tech]

Что-то я запутался.

1.

amon в сообщении #1016878 писал(а):

$$ \Delta E-\frac{n^2(t)}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0 $$

Вот это на самом деле неверно для этой задачи?

А верно вот это:

amon в сообщении #1016856 писал(а):

$$ \Delta E-\frac{1}{c^2}\alpha^2\left(2E+4\tau \frac{\partial E}{\partial \tau}+\tau^2\frac{\partial^2 E}{\partial \tau^2}\right)=0 $$

Так?

2. А если бы это было верным $\Delta E-\frac{n^2(t)}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0$, то почему мы можем рассматривать независимо "кусочки" волновых пакетов. Где об этом можно почитать? Я с волновыми пакетами знаком на уровне 2 курса общей физики.

3. Почему в конечном итоге моё решение не сходится с решением преподавателя? Ведь если можно рассматривать плоские волны, то оба способа должны давать одинаковые результаты. В моём варианте расплывания волнового пакета нет. Если же рассматривать "кусочки", то оно есть.

[amon]

tech в сообщении #1016896 писал(а):

Что-то я запутался.

Попробую распутать (не знаю, что получится). Я придрался к тому, что волновое уравнение $\Delta E-\frac{n^2(t)}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0$ для оптики вторично, и выводится из уравнений Максвелла. При этом, для того, что бы получить волновое уравнение на связь $D$ и $E$ должны быть наложены некоторые ограничения. Тогда возникнет волновое уравнение с $n^2=\varepsilon\mu$. Т.е. показатель преломления вторичен, а первична диэлектрическая проницаемость, и только ее мы можем менять в эксперименте. Если $\varepsilon$ явно зависит от $t$, то вместо волнового уравнения возникнет некая белиберда, которую нельзя считать волновым уравнением даже приближенно.

С другой стороны, если плясать от волнового уравнения (не заморачиваясь тем, как оно получилось), то можно в этом уравнении написать $n^2=n_0^2+\alpha t$ и считать $\alpha t$ малым по сравнению с $n_0^2$. Тогда сразу плоские волны станут приближенным решением уравнения, и $\alpha t$ можно попытаться учесть, считая, что средняя фазовая скорость переднего и заднего фронта пакета разная. Ответ в этом случае будет верен в первом порядке по $\alpha t_0$ ($t_0$ - время прохождения кристалла пакетом), и я не проверял, но подозреваю, что с этой точностью Ваше решение и решение Вашего преподавателя совпадут. Итого, если бы в задаче не было слов про свет, а было сказано, что волна, подчиняющаяся уравнению $\Delta E-\frac{n^2}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=0$ проходит бла-бла-бла, то и придраться было бы не к чему, а так можно.

Munin в сообщении #1016889 писал(а):

Я подумывал разложить кристалл по Фурье.

Честно сказать, не понял для чего.

[tech]

Теперь момент с волновым уравнением я понял. Спасибо.

amon в сообщении #1016913 писал(а):

но подозреваю, что с этой точностью Ваше решение и решение Вашего преподавателя совпадут

В том-то и дело, что не совпадают. В его варианте длина импульса возросла в $1,1$ раза, а средняя частота уменьшилась во столько же раз.
В моём же варианте изменения длины импульса вовсе нет, а средние частоты связаны так: $\omega_0'=\omega_0(1-\frac{\alpha}{c}\Delta)$. То есть изменение совсем мизерное, если учесть, что $\Delta=10 cm,\ \alpha=3\cdot10^{-8} s^{-1}$.

[Xey]

Может быть $a$ в положительной степени.
Видимо это электрооптический кристалл, $n$ может меняться в небольших пределах, но очень быстро.