Дискуссия о единственно верном понимании тензора

[maximav]

Утундрий в сообщении #768786 писал(а):

Neos в сообщении #768679 писал(а):

Начинающие будут благодарны тому, кто распишет на полстраницы, почему геометрический объект (тензор) с верхними и нижними индексами при переходе от одной системы координат к другой изменяется совокупностью как прямых, так и обратных преобразований. И на абзац, чем отличаются ковариантные индексы от контрвариантных, кроме формального определения. Существует

Так или иначе, это просто определения. Но и определения можно сделать менее формальными если поразмышлять, откуда они могут вылезти...

Рассмотрим двухиндексный набор чисел $x_{,\nu }^\mu$. Все числа этого набора могут быть получены по одному правилу: $x_{,\nu }^\mu = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} 1 & {\mu = \nu } \\ 0 & {\mu \ne \nu } \\ \end{array} } \right.$. Замечаем, что "по построению" правило одно и то же в любых координатах. Следовательно, в "каком-то смысле" наш объект должен быть инвариантен. Исследуем смысл этого "какого-то смысла": $x_{,\nu '}^{\mu '} = x_{,\nu }^{\mu '} x_{,\nu '}^\nu = x_{,\alpha }^{\mu '} x_{,\nu '}^\beta x_{,\beta }^\alpha$. Обращает на себя внимание тот факт, что $x_{,\nu }^\mu$ преобразуется в точности как произведение $v^\mu w_\nu$. Кроме того, всегда можно написать $v^\mu w_\mu = v^\nu w_\mu x_{,\nu }^\mu$ и посмотреть на это выражение в штрихованных координатах. Поскольку наше выражение инвариант, двухиндексной величине просто не остаётся выбора как преобразовываться. Убеждаемся в этом прямым вычислением и, вдохновясь намёками, рассматриваем наконец произвольноиндексные наборы чисел, преобразующиеся точно так же, как произведения одноиндексных. Осталось обозвать их всех каким-то словом... ну, например, тензоры.

Примечание
Я умышленно не объяснил принятую нотацию. Любопытно было бы узнать, что в ней (с точки знения новичка) требует объяснения?

Случайно нарвался, но поскольку подобное в бесконечных кол-вах возникает время от времени, решил вставить свои 5 копеек. Отчасти потому, что задачи типа "доказать, что символ Кронекера $\delta_j^k$ является тензором 2-го ранга уже доканали своей безграмотностью. Да и чуть не повсеместно встречаются в книжках". Да и не далее как на днях пришлось показывать книжку студентам, в которой предлагается это доказать про дельту. Достало ... Ваше рассуждение про $x_{,\nu }^\mu$ грешит типичным образом. Вот вам доказательство, что символ Кронекера не является тензором, а является набором скаляров. Пусть размерность пр-ва $N=2$. Пусть $\delta_1^1=1$ - это значение некоторой скалярной - температуры -величины (сидим в некоторой точке). Пусть $\delta_1^0=0$ - значение некоторой другой скалярной величины (плотности; в этой же точке). И так продолжаем про другие 2 компоненты. Переходим в другие координаты. Поскольку компоненты "моего" $\delta$ стряпались из скалярных объектов, они будут иметь те же самые старые значения в любых новых координатах. Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора. Я надеюсь вы понимаете, что тензорность объекта следует жесточайшим образом отличать от его числовых значений. Это именно то место, которое множится в хреновых книжках, когда пишут заклинания про типа "тензор - это набор чисел, преобразующихся ...". За такие фразы пора давно руки отсекать. Также как и про "набор функций, преобразующихся ...". Аналогичную "ахинею" можно воочию наблюдать про $\varepsilon$- тензор у ландавшица. Это утверждение, конечно не объявляет, что они не понимали, что такое тензор. Но то, что они пропопугайничали типично оканемевшие заклинания про его определения - это точно.

-- 14.05.2015, 19:56 --

Утундрий в сообщении #770057 писал(а):

Ведь начав с обсракных определений, всё равно придётся проделать примерно то же количество шагов, только в обратном направлении.

Мысль неплохая, но, как обычно дело портят крайности. Большой крен в абстракцию, либо излишний в технический calculus. Выскажу мысль, в разумных (лично устанавливаемых и возможно меняющихся со временем пределах) плюс-минус должен быть вокруг понимания. От него, как известно не уйти.... Это так... философское добавление.

[Утундрий]

О, мою мёртвую тему воскресили!

Действительно, я тогда всё несколько переусложнил и упрёки совершенно справедливы. На самом деле тензоры - это матрицы Так и надобно объяснять.

[maximav]

Ну я бы и на матричную трактовку тензоров тоже не против напасть. Отчасти потому, как вижу сейчас страдания студентов ... куча и каша велика. Матрицы не отличают оэ тензоров, а тензоры от функций. Сделал - грех - методическое наблюдение открытие, так как с младшекурсниками не сталкивался целую вечность. Запретить им, почти полностью, воспринимать тензоры как матрицы. От этого только беда, еще хуже. 0-1, 0-2 и 2-0 тензоры - сплошные матрицы. А если сюда дробавить, что матрицы преобразований Якоби - тоже матрицы то вообще. Кошмарище неописуемый в головах. Лучше запретить! Тензоры ничего не знают про матрицы. Ни в контексте лин-алгебры, ни в контексте расслоений-дифгема и даже ни в контексте технарского жонглировпния индексами и законов преобразования. По свежему своему восприятию (студенты!) уверяю запретите и вы и всех призываю. Тут кто-то высказывался, что это большая методическая проблема, вот я, по свежему восприятию и вываливаю свое "открытие". А на днях уже и связности пошли. Тоже самое. Пока, похоже, надо просто вдалбливать типа известной некопенганенской трактовки квантовой механики: "заткнись и считай". Кажется работает.

[Утундрий]

Смотрю, свежесть впечатлений весьма способствует повороту на $\pi$ радиан. Лучше, наверное, подождать с обсуждением пока эмоции схлынут.

[g______d]

maximav в сообщении #1015019 писал(а):

Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.

Я вот этого "а не" не понял. (1,1) - тензоры -- это то же самое, что линейные операторы из $V$ в себя ($V$ -- линейное пространство, на котором заданы эти тензоры, например, касательное пространство). Тождественный оператор ни чем не хуже любого другого, и он не виноват, что у него во всех базисах одинаковые компоненты.

И вообще, нулевой тензор, что ли, тоже не тензор?

[мат-ламер]

g______d в сообщении #1015158 писал(а):

тензоры -- это то же самое, что линейные операторы

А что, символ Кронекера - это оператор? Откуда и куда?

[g______d]

мат-ламер в сообщении #1015163 писал(а):

А что, символ Кронекера - это оператор? Откуда и куда?

Из $V$ в $V$, я же сказал. На многообразии -- из $T_x M$ в $T_x M$. Ну только не оператор, а набор компонент оператора или матрица оператора.

Известно, что $V\otimes V^*$ (которому принадлежат тензоры ранга (1,1)) канонически изоморфно $\mathrm{Hom}(V,V)$.

[Oleg Zubelevich]

остается только надеяться, что maximav
не преподает тензорный анализ

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich в сообщении #1015165 писал(а):

нет, это матрица оператора об остальном сами догадайтесь

Я думал, что символ Кронекера это всё-таки бинарная функция, заданная на некоем конечном множестве. Да, исходя из символа Кронекера можно построить матрицу. Да, исходя из матрицы, задав базис, можем построить линейный оператор (или билинейную форму). Это я конечно же понимаю.

[maximav]

Oleg Zubelevich в сообщении #1015169 писал(а):

остается только надеяться, что maximav
не преподает тензорный анализ

К счастью, кое-кому приходится преподавать. Мне бы так преподносили на 1м курсе, что такое тензор. Я б не мучился в свое время. Именно, так и только так. Если вы против того, чтобы отличать числа от математических конструкций представляемых числами, то "вас надо предать математической анафеме"

[g______d]

maximav в сообщении #1015019 писал(а):

Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.

Все-таки, поясните этот вывод. Давайте даже проще: возьмем набор компонент нулевого тензора. Будете тоже говорить, что это не компоненты тензора, а набор нулевых скаляров?

[Geen]

Утундрий в сообщении #1015102 писал(а):

Так и надобно объяснять.

Как мне кажется, главное - это хорошо подобранные примеры.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1015019 писал(а):

Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора [выделение моё — a.].

Выделенное никак не противоречит набору скаляров. Набор скаляров никак не противоречит тому, что выделенное преобразуется как надо (ну и что, что в себя).

maximav в сообщении #1015154 писал(а):

Матрицы не отличают оэ тензоров, а тензоры от функций.

Кто? Где? Покажите на них пальцем, а то вдруг они и дверь от окна не отличают заодно.

[maximav]

Утундрий в сообщении #1015155 писал(а):

Смотрю, свежесть впечатлений весьма способствует повороту на $\pi$ радиан. Лучше, наверное, подождать с обсуждением пока эмоции схлынут.

Да никаких эмоций нет. Все хладнокровно и навечно. Числа - это числа. Набор чисел - это не более чем набор чисел. Если вы этот набор чисел пронумеровали как $T_{jk}$ - это не более, чем пронумерованный набор чисел. Это даже вовсе не обязательно $2\times2$-матрица. Вы ее, то есть этот набор, можете написать и в строчку $T_{11},T_{12},T_{21},T_{22}$ (слышите, тензоры можно и в строчку писать/представлять), в столбец, по диагонали, произвольно рассыпать по листу бумаги, в пространсте(вах), обозвать их буквой $T$(ензор) и т.д. Это ровным счетом ничего не поменяет и не добавит. Это останется набором чисел. Соответственно просто так, взять и сказать что "этот ваш $T_{jk}$ - тензор" или "ваша матрица $\left(\begin{array}{cc}{1&2\\3&4\end{array}\right)$ - тензор" есть крайне дурная фраза и именно так в изобилии пишут в книжках. Например, Дубровин-Новиков-Фоменко пишут из книжки в книжку "тензор ... запись которого меняется....". Чушь. Математика не оперирует с понятиями "запись" или "запись меняется". Понимая о чем идет речь, корректная формулировка должна быть наоборот. Пусть у меня есть тензор $A$, пусть он есть элемент ЛВП, являющегося тензорным произведением двух ЛВП, и пусть в некотором базисе (предъявите его!) его координаты есть числа $A_{kn}$, которые равны этим самым вашим числам $T_{jk}$. Вот такая формулировка корректна. У числа/чисел $T_{jk}$ нет обратной памяти, т.е. они не знают, не знали, и не будут никогда знать с какими значениями и какого математического объекта они вдруг когда-то и где-то совпадали. Первоначальные $T_{jk}$ по-прежнем останутся набором чисел. Когда люди понимают о чем идет речь, конечно просто говорят: пусть есть (1,1)-тензор $\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Всего лишь условность.

Тензор, если речь идет о его числовом представлении, может быть задан только предъявлением его координат во всех базисах. Тензор всегда задается или полностью или он не имеет право называться тензором, а остается "каким-то набором чисел в каких-то координатах". Способ 1. Например объявили, что в одном базисе он есть $\delta_j^k$, а во всех других вычисляй по формуле, по какой надлежит иметь значения для тензора типа (1,1). Сделали, вычислили. Получили опять те же числа: нолики и единички. И ничего страшного. Это специальный "экзотический" тензор. А такой же, но $(0,2)$-тензор уже не будет ноликами и единичками в других координатах. И не важно, что вы его обозвали буквой $\delta_j^k$. А можно и наоборот, другой способ предъявления во всех координатах. Способ 2. Объявлю объект, с обозначением $\delta_j^k$, так, что пусть он во всех координатах имеет одни и те же значения $\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Замысел слегка сумасбродный, наглый, но авось. Начинаю проверять его на предмет какой-нибудь тензорности. Пробую тип (0,1) в 4-мерном пр-ве. Облом. Пробую тип (0,2) в 2-пространстве и получаю облом. Пробую тип (2,0) - опять облом. Пробую тип (1,1) в 2-мерном пр-ве и получаю НеОблом. Радуюсь и говорю. Есть такой (1,1)-тензор, который в любых кривых координатах равен вот такому набору единичек и ноликов. Не верь глазам своим, но комар носа не подточит. Однако надо быть начеку. Я таким же экстравагантным способ задания числовых значений "объекта нолики-единички" могу представлять не только тензор. Могу и набор скаляров, как описывал выше. Наборы чисел совпали, но объекты как сущности остались своими. Один - есть (1,1)-тензор, а другой - набор скаляров. А могу и еще хуже взять тензор $A_{[abc][jkn]}$, он определяется одной своей компонентой $A_{[123][123]}$, положу ее равной $A_{[123][123]}=1$. Возьму теперь из тензора $A$ по наглому кусок - одну компоненту $A_{[123][123]}=1$, возьму также оттуда нолики. Они все не меняются и я их запихиваю в значения моего superexotic объекта $\delta_{jk}=\left(\begin{array}{cc}{1&0\\0&1\end{array}\right)$. Это не тензор и не набор скаляров. Это нахватанные куски от тензора $A$ и еще быть может от чего-то. Но по числовому представлению он не отличим от тензора $\delta_j^k$. Нет противоречия. Есть две ипостаси: числа + сущность. Их нельзя - категорично!! - смешивать, подменять, объединять, откидывать одно от другого и т.д.

-- 15.05.2015, 12:52 --

В примере про $A_{[abc][jkl]}$ я кажется забыл корень детерминант метрики, но это не суть важно. Нахватать кусков из чего-либо, которые не меняются, я могу великим числом способов.

[g______d]

maximav в сообщении #1015367 писал(а):

Тензор, если речь идет о его числовом представлении, может быть задан только предъявлением его координат во всех базисах.

Достаточно в одном базисе и указать тип.

Вы вот это

maximav в сообщении #1015019 писал(а):

Вывод: символ Кронекера - набор скаляров, а не совокупность компонент (1,1)-тензора.

всё-таки, прокомментируете? Интересует слово "не".