2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 14:41 


29/04/15
4
Здравстуйте!

На ум пришла такая задача. Пусть $M(n, \mathbb{R})$ - полугруппа всех квадратных матриц по умножению. Возьмем 2 произвольные матрицы $A,B \in M(n, \mathbb{R})$. Требуется определить условия на матрицы $A,B$, когда существует такая матрица $X \in M(n, \mathbb{R})$, что $A=BX$.

Что я пытался делать и что получилось. Я приводил матрицы $A, B$ к виду $A=YT$, $B=ZW$, где $Y$, $Z$ - матрицы, которые могут иметь числа только на диагонали, а $T,W$ - обратимые матрицы. Для таких $A,B$ получилось условие, что это возможно тогда, когда $\operatorname{rk}(A) \leqslant \operatorname{rk}(B)$, но это лишь частный случай, хотелось бы получить условия для произвольных матриц из $M(n, \mathbb{R})$. Пробовал также приводить матрицы к виду $PXT$, где $X$ - матрица, которая имеет ненулевые элементы только на диагонали, а $P,T$ - обратимые матрицы, но там не получается получить это условие так просто.

Если у кого-нибудь возникнут какие-нибудь идеи, то будет здорово.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 17:20 


10/02/11
6786
kaktus12345 в сообщении #1014424 писал(а):
Пусть $M(n, \mathbb{R})$ - полугруппа всех квадратных матриц по умножению. Возьмем 2 произвольные матрицы $A,B \in M(n, \mathbb{R})$. Требуется определить условия на матрицы $A,B$, когда существует такая матрица $X \in M(n, \mathbb{R})$, что $A=BX$.

$\Longleftrightarrow\mathrm{ker}\, B^*\subseteq \mathrm{ker}\, A^*$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.05.2015, 17:21 
Модератор


20/03/14
11522
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 18:10 


29/04/15
4
А можно где-нибудь почитать про доказательство этого факта?
Что эти условия эквивалентны?
Заранее спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 19:56 
Заслуженный участник


23/07/08
9163
Харьков
Можно мне поменять местами $A$ и $B$, хотя бы в пределах этого сообщения? Итак, $AX=B$.
Пусть $x_k, b_k$ — соответствующие вектор-столбцы матриц $X$ и $B$. Тогда $Ax_k=b_k$ для $k=1..n$, т.е. у Вас просто $n$ СЛАУ с одной матрицей $A$, которые можно решать независимо. И $X$ существует тогда, когда каждая из систем имеет решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 20:41 


29/04/15
4
Спасибо большое, то, что вы написали, безусловно верно, но для этого нужно составлять системы, проверять их решаемость..
В предыдущем сообщении был выдвинут критерий, согласно которому можно сразу сказать, верно ли это или нет, очень хотелось бы понять, как он доказывается..

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 20:46 
Заслуженный участник


23/07/08
9163
Харьков
Составлять системы не нужно, достаточно просто увидеть в матричном уравнении $AX=B$ то, что я написал.
Проверять их решаемость тоже не нужно. А вот если Вы вспомните, когда система имеет решение, возможно, родится какой-то критерий.

 Профиль  
                  
 
 Re: $A=BX$.
Сообщение13.05.2015, 21:57 


10/02/11
6786
kaktus12345 в сообщении #1014516 писал(а):
можно где-нибудь почитать про доказательство этого факта?

тут например: post522487.html#p522487

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group