$A=BX$.

[kaktus12345]

Здравстуйте!

На ум пришла такая задача. Пусть $M(n, \mathbb{R})$ - полугруппа всех квадратных матриц по умножению. Возьмем 2 произвольные матрицы $A,B \in M(n, \mathbb{R})$. Требуется определить условия на матрицы $A,B$, когда существует такая матрица $X \in M(n, \mathbb{R})$, что $A=BX$.

Что я пытался делать и что получилось. Я приводил матрицы $A, B$ к виду $A=YT$, $B=ZW$, где $Y$, $Z$ - матрицы, которые могут иметь числа только на диагонали, а $T,W$ - обратимые матрицы. Для таких $A,B$ получилось условие, что это возможно тогда, когда $\operatorname{rk}(A) \leqslant \operatorname{rk}(B)$, но это лишь частный случай, хотелось бы получить условия для произвольных матриц из $M(n, \mathbb{R})$. Пробовал также приводить матрицы к виду $PXT$, где $X$ - матрица, которая имеет ненулевые элементы только на диагонали, а $P,T$ - обратимые матрицы, но там не получается получить это условие так просто.

Если у кого-нибудь возникнут какие-нибудь идеи, то будет здорово.
Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

kaktus12345 в сообщении #1014424 писал(а):

Пусть $M(n, \mathbb{R})$ - полугруппа всех квадратных матриц по умножению. Возьмем 2 произвольные матрицы $A,B \in M(n, \mathbb{R})$. Требуется определить условия на матрицы $A,B$, когда существует такая матрица $X \in M(n, \mathbb{R})$, что $A=BX$.

$\Longleftrightarrow\mathrm{ker}\, B^*\subseteq \mathrm{ker}\, A^*$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[kaktus12345]

А можно где-нибудь почитать про доказательство этого факта?
Что эти условия эквивалентны?
Заранее спасибо.

[svv]

Можно мне поменять местами $A$ и $B$, хотя бы в пределах этого сообщения? Итак, $AX=B$.
Пусть $x_k, b_k$ — соответствующие вектор-столбцы матриц $X$ и $B$. Тогда $Ax_k=b_k$ для $k=1..n$, т.е. у Вас просто $n$ СЛАУ с одной матрицей $A$, которые можно решать независимо. И $X$ существует тогда, когда каждая из систем имеет решение.

[kaktus12345]

Спасибо большое, то, что вы написали, безусловно верно, но для этого нужно составлять системы, проверять их решаемость..
В предыдущем сообщении был выдвинут критерий, согласно которому можно сразу сказать, верно ли это или нет, очень хотелось бы понять, как он доказывается..

[svv]

Составлять системы не нужно, достаточно просто увидеть в матричном уравнении $AX=B$ то, что я написал.
Проверять их решаемость тоже не нужно. А вот если Вы вспомните, когда система имеет решение, возможно, родится какой-то критерий.

[Oleg Zubelevich]

kaktus12345 в сообщении #1014516 писал(а):

можно где-нибудь почитать про доказательство этого факта?

тут например: post522487.html#p522487