Задача на геометрическую вероятность

[TOTAL]

gris в сообщении #1014274 писал(а):

А значит и интегрировать не нужно, а посчитать этот объём по школьной формуле.

А если найти математическое ожидание суммы площадей всех трех треугольников, то вообще ничего делать не надо.

[iifat]

Koncopd в сообщении #1013864 писал(а):

Ну вот мне не совсем понятно, как ее здесь строить

Несколько запоздал, но: вот фиксирован отрезок AB. Где можно взять третью точку, чтоб площадь треугольника не превышала некоего фиксированного $x$?

[gris]

TOTAL в сообщении #1014282 писал(а):

найти математическое ожидание суммы площадей

С мгновенным обобщением на правильные многоугольники Кстати, а вот треугольник может быть любым. А вот для произвольного четырёхугольника общей формулы нету

[Koncopd]

iifat в сообщении #1014286 писал(а):

Koncopd в сообщении #1013864 писал(а):

Ну вот мне не совсем понятно, как ее здесь строить

Несколько запоздал, но: вот фиксирован отрезок AB. Где можно взять третью точку, чтоб площадь треугольника не превышала некоего фиксированного $x$?

Что-то типа $\{P : \frac{1}{2} \times |AB| \times d(P, AB) < x\}$?

[ИСН]

Словами скажите. Формулы запутывают.

[Koncopd]

gris в сообщении #1014274 писал(а):

Кстати, в этой задаче вполне можно применить стандартный способ нахождения матожидания путём интегрирования по этому самому треугольнику. Плотность распределения везде равна единице. Функция, то есть площадь, линейна, и график её представляет кусок плоскости, поднимающийся от нуля на основании до единицы в противоположной вершине. Нужный интеграл равен объёму тела, которое представляет собой пирамиду. А значит и интегрировать не нужно, а посчитать этот объём по школьной формуле.

Да, действительно, теперь я это вижу. Еще такой вопрос - линейная функция получается, когда мы представляем высоту как расстояние от нашей случайной точки до прямой, порождаемой отрезком $AB$?

[iifat]

Koncopd в сообщении #1014321 писал(а):

Что-то типа

Ну уж преобразуйте как-нить минимально. Чтоб константы собрать вместе, а переменные отдельно.
Впрочем, таки да, формула верная. Теперь пересеките её с треугольником ABC и скажите площадь пересечения.

[Koncopd]

ИСН в сообщении #1014326 писал(а):

Словами скажите. Формулы запутывают.

Ну, это все такие точки, расстояние от которых до прямой, совпадающей с отрезком $AB$, помноженное на половину длины $AB$, меньше $x$.

[ИСН]

Ага, так лучше. Ну и какой функцией описывается зависимость этой площади (которую занимают вот эти точки) от $x$?

[Munin]

Koncopd в сообщении #1014203 писал(а):

Да он правильный по условию, это я совсем забыл написать.

Причём это условие не обязательно.

[gris]

Интересно, можно ли отыскать простой способ нахождения матожидания периметра маленького треугольника?

[Koncopd]

$$\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}a}\int_{\frac{y}{\sqrt{3}}}^{a-\frac{y}{\sqrt{3}}} (ax\frac{\sqrt{3}}{4}-ay\frac{1}{4})\, dxdy$$

Вот такая формула мат. ожидания получилась для равностороннего треугольника. a - длина стороны.

[ИСН]

Ну ладно, если уж идти таким чудовищным путём, то почему бы не до конца? Возьмите его, что ли. Интеграл от линейной функции ведь не очень сложно берётся, так?

[gris]

С пределами интегрирования я согласен, а что за формула внутри? Я по простоте полагал за "маленький треугольник" $\triangle ABM$. При $y\approx 0$ его периметр вроде бы должен $\approx 2a$
Хотя формально Вы правы: выражение всегда больше нуля, поэтому каждой точке можно сопоставить некоторый треугольник с таким периметром. Или я чего-то не уловил?

[Koncopd]

gris в сообщении #1014902 писал(а):

С пределами интегрирования я согласен, а что за формула внутри? Я по простоте полагал за "маленький треугольник" $\triangle ABM$. При $y\approx 0$ его периметр вроде бы должен $\approx 2a$

Ну это я все с площадью. Это половина стороны - $\frac{a}{2}$, умноженная на длину высоты - $x\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{y}{2}$.